Hartshorne la prueba de la secuencia exacta $\mathbb{Z} \to \operatorname{Cl} X \to \operatorname{Cl} U \to 0$

Question

Hartshorne, la Geometría Algebraica, la Proposición II.6.5 lee (en parte):

Deje $X$ satisfacer (*), vamos a $Z$ ser un adecuado subconjunto cerrado de $X$, y deje $U = X \setminus Z$. Entonces:

[...]

(c) si $Z$ es un subconjunto irreducible de codimension 1, entonces existe una secuencia exacta

$$\mathbb{Z} \to \operatorname{Cl} X \to \operatorname{Cl} U \to 0,$$

donde el primer mapa se define por $1 \mapsto 1 \cdot Z$.

La condición (*) aquí es simplemente decir que $X$ tiene una teoría viable de divisores de Weil, viz.

(*) $X$ es un noetherian integral separados esquema de lo que es habitual en codimension uno.

Aquí es Hartshorne de la prueba:

El núcleo de $\operatorname{Cl} X \to \operatorname{Cl} U$ se compone de los divisores cuyo apoyo está contenida en $Z$. Si $Z$ es irreductible, el kernel es sólo el subgrupo de $\operatorname{Cl} X$ generado por $1 \cdot Z$.

Como está escrito, esto no parece tener sentido. Por ejemplo, considere el caso donde $X = \mathbb{P}^2$, $Z = V(x_0) \subset \mathbb{P}^2$, y, por tanto,$U = X \setminus Z \cong \mathbb{A}^1$. A continuación,$\operatorname{Cl} U = 0$, por lo que este dice que cada divisor en $\mathbb{P}^2$ es compatible en $Z$. Pero por supuesto, esto es falso, porque hay mayor grado de curvas.

Por supuesto, estos de mayor grado curvas son linealmente equivalente a divisores apoyado en $Z$, o el teorema sería falso. Pero no veo cómo esto ha sido demostrado.

Answer 1

Sí, no es del todo correcto, como está escrito, pero el argumento es muy simple-o, al menos, tan sencillo como otras cosas omitido en el libro.

Dado un divisor de Weil $D$ $X$ si $D$ se asigna a cero en $\operatorname{Cl} U$, entonces no es una función racional $f$$U$$(f) = D\cap U$$U$. A continuación, en $X$, $D-(f)$ se admite en $Z$, lo $D$ es linealmente equivalente a un divisor apoyado en $Z$.