No coherencia de fermiones y bosones mediante $U(1)$

Question

I "saber" la respuesta del libro de texto a por qué no podemos escribir,

$$ |\psi\rangle = a|j=\tfrac{1}{2}\rangle + b|j=1\rangle $$ como "cada término de la superposición cuántica se transforma de forma diferente bajo $U(1)$ " , $$ U(2\pi)\ |\psi\rangle = -a|j=\tfrac{1}{2}\rangle + b|j=1\rangle $$ y "de ahí que la diferencia de fase sea inobservable" ...

Sin embargo, no entiendo qué se quiere decir con las partes en cursiva.

¿Por qué no podemos observar la diferencia de fase?

La pregunta ha surgido al estudiar los apuntes de un curso de Simetrías de la mecánica cuántica centrándose en la base teórica de grupo de la QM.

Answer 1

Este es el ejemplo prototípico de un superselección regla .

El operador $U(2\pi)$ conmuta con todos los observables (porque representa una rotación completa y, por lo tanto, físicamente es un operador que "no hace nada") y, sin embargo, no es un múltiplo de la identidad (porque es -1 en las partes fermiónicas y 1 en las partes bosónicas del espacio de Hilbert). Por lo tanto, la representación del álgebra de observables es reducible por Lema de Schur y los subespacios invariantes son precisamente los subespacios bosónico y fermiónico.

Dado que los subespacios bosónico y fermiónico (llamémoslos $H_b,H_f$ ) son invariantes, todos los elementos de la matriz cruzada para todos los observables desaparecen: $\langle b\vert A \vert f\rangle = 0$ para todos $\lvert b\rangle\in H_b,\lvert f \rangle \in H_f$ y todos los observables $A$ .

De esto se deduce directamente que las fases relativas entre estados bosónicos y fermiónicos son inobservables: Para cualquier $\lvert \psi \rangle = \lvert b\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\lvert f\rangle$ , $\langle \psi \vert A \vert \psi\rangle$ es independiente de $\phi$ Por lo tanto, no es posible determinar experimentalmente estas fases relativas, ya que son "inobservables".