Problema de Teorema de Hahn Banach

Question

Cómo mostramos eso si $f(x)=f(y)$ cada % funcional lineal acotado $f$en un espacio normado $X$, entonces el $x=y$.

Answer 1

Una aplicación de Hahn-Banach Teorema es la siguiente: $$ \text{Si } x\X \text{ y } x\=0,\ \exists\ f\X^*\ \ s.t.\\ \|f\|=1\text{ y } f(x)=\|x\| $$ Por lo tanto, si $x-y\not=0$, existe una limitada lineal funcional $f$ tal que $$ \|f\|=1\quad f(x)-f(y)=f(x-y)=\|x-y\|\no=0 $$

Answer 2

Esto es equivalente a si $f(x)=0$ por cada $f$$x=0$. Si $x$ no es cero, entonces podemos definir una funcional $\phi$ $\mathbb{R}x$ (o $\mathbb{C}x$ etc.) por $\phi(\lambda x)=\lambda$. Entonces por Hahn-Banach extensión del teorema, podemos extender esta $\phi$ a ser definida en todo el espacio, que se denota también por $\phi$. Por lo tanto $\phi(x)=1\neq 0$. Por lo $x$ tiene que ser cero.