Sylow$p$ - subgrupos de$SO_3(\mathbb{F}_p)$

Question

Deje $G=SO_3(\mathbb{F}_p)$. Tenemos $|G|=p(p^2-1)$. Deje $n_p$ el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$. Es cierto que $n_p=p+1$?

Tenemos las dos condiciones

1. $n_p\equiv 1\mod p$
2. $n_p\mid p^2-1$.

La primera condición nos da $n_p=1+kp$, y, a continuación, el segundo da $m(1+kp)=p^2-1$. Fijo $p$, esta ecuación tiene al menos los dos número entero no negativo soluciones de $(k,m)$$(0,p^2-1)$$(1,p-1)$, lo que lleva a las dos posibilidades de $n_p=1$$n_p=p+1$. Hay más soluciones de esta ecuación?

A continuación, me gustaría descartar la posibilidad de que $n_p=1$. Es $SO_3(\mathbb{F}_p)$ simple?

Cualquier ayuda en la solución de mi pregunta inicial es apreciado, incluso si no sigue mi pensamiento.

Answer 1

(recopilación de mis comentarios, así que la pregunta tiene una respuesta...)

La primera pregunta tiene una fácil respuesta: usted puede fácilmente descartar factores de $kp+1$$p^2-1$$k\gt 1$. Supongamos $m\cdot (kp+1) = p^2-1$; entonces a partir de la $p^2-1\equiv -1$$kp+1\equiv 1\pmod p$, debe ser el caso de que $m\equiv -1$. Desde $m\gt 0$,$m\geq p-1$. Pero, a continuación,$m\cdot (kp+1) \gt m\cdot (p+1)\geq (p-1)\cdot(p+1)=p^2-1$.

En cuanto a la segunda pregunta, en lugar de romper con la maquinaria pesada que usted está probablemente mejor tratando de exhibición de dos distintas $p$-subgrupos de Sylow: trate de encontrar a un subgrupo en particular, y luego encontrar un elemento en $SO_3(\mathcal{F}_p)$ que no conjugado de nuevo a sí mismo. Si usted encuentra el derecho de los subgrupos, usted debe ser capaz de conjugar por una matriz de permutación para encontrar otra distinta.