En mis ejercicios tuve la siguiente pregunta:
Demostrar que $(A^c)^c = A$.
Mi solución:
Deje $A$ ser un conjunto donde $A\subset X$. $A = \{x \in X, x \in A\}$ por definición.
$A^c = \{x \in X, x \notin A\}$
Deje $P(x)$ ser la proposición de que $x \in X$ $Q(x)$ ser la proposición de que $x \in A$. Por lo tanto:
$A = P(x) \wedge Q(x)$
$A^c = P(x) \wedge ¬Q(x)$
$(A^c)^c = P(x) \wedge ¬(P(x) \wedge ¬Q(x)) \iff P(x) \wedge (¬P(x) \vee Q(x)) \iff (P(x) \wedge ¬P(x)) \vee (P(x) \wedge Q(x)) \iff False \vee (P(x) \wedge Q(x)) \iff P(x) \wedge Q(x) = A$
Por lo tanto, $(A^c)^c = A$.
Esta es una sólida prueba suficiente, o que debo hacer un enfoque diferente?
Nota: Mi actual trabajo escrito contiene referencias a las Leyes De De Morgan, y otras propuestas en el curso que me permiten hacer la lógica de las equivalencias.
