Tercera derivada en el punto a es mayor que 3

Question

f : $I \to \Bbb R$ es 3 veces diferenciable en el intervalo abierto $I$ que contiene el intervalo cerrado [-1,1]. $f(0)=f(-1)=f'(0)=0$ $f(1)=1$

demostrar que existe un punto de $c \in (-1,1) s.t. f^{(3)} (c) \ge 3$

Lo que yo hice: He utilizado teorema de Rolle para demostrar que hay puntos en los derivados donde se igual a 0. Realmente no sé cómo llegar a 3... tal vez usando el valor intermedio de alguna manera - pero en realidad no tienen una idea...

Gracias de antemano

Answer 1

Una declaración más fuerte se tiene: existe $c$ $(-1,1)$ tal que $f^{(3)}(c)=3$.

Observar que el grado $3$ polinomio $$ g(x)=\frac{1}{2}x^2(x+1) $$ tiene exactamente las mismas propiedades que su función $f$. Y tenga en cuenta que $g^{(3)}(x)=3$.

Ahora $h=:f-g$ satisface $$ h(-1)=h(0)=h(1)=h'(0)=0. $$ Por Rolle, existe $-1<a<0<b<1$ tal que $h'(a)=h'(0)=h'(b)=0$.

Dos aplicaciones más de Rolle rendimiento $-1<c<1$ tal que $$ 0=h^{(3)}(c)=f^{(3)}(c)-g^{(3)}(c)=f^{(3)}(c)-3. $$

Answer 2

Tengo un boceto de una respuesta que podría ayudar:

Creo que desde $[-1,1]$ está cerrado, la función $f'''$ debe llegar a un máximo de $m$ en el intervalo. Por lo tanto tenemos: $f'''(x) \leq m$

A continuación, puede integrar ambos lados en el rango de $[0,x]$, es decir,

$\int^x_0 f'''(t) dt \leq mx$

$f''(x) - f''(0) \leq mx$

$f''(x) \leq mx + f''(0)$

El problema es que no se nos dan $f''(0)$ así que lo dejo como está.

Ahora repita el proceso:

$\int^x_0 f''(t) dt \leq \frac{1}{2}mx^2 + f''(0)x$

$f'(x) - f'(0) \leq \frac{1}{2}mx^2 + f''(0)x$

$f'(x) \leq \frac{1}{2}mx^2 + f''(0)x$

y de nuevo:

$\int^x_0 f'(t) dt \leq \frac{1}{6}mx^3 + \frac{1}{2}f''(0)x^2$ $f(x) - f(0) \leq \frac{1}{6}mx^3 + \frac{1}{2}f''(0)x^2$ $f(x) \leq \frac{1}{6}mx^3 + \frac{1}{2}f''(0)x^2$

Establecimiento $x=1$ :

$1 \leq \frac{1}{6}m + \frac{1}{2}f''(0)$

Así se obtiene una desigualdad que involucra $m$$f''(0)$.

Ahora puede repetir todo el proceso nuevamente, pero esta vez utilice el intervalo de $[-x,0]$. Usted debe conseguir otra desigualdad que involucra $m$$f''(0)$.

Por medio de la sustitución debe ser capaz de obtener una desigualdad que involucran a $m$ que debería dar su respuesta.