¿Por qué $X$ no Banach $\implies x\mapsto \bar x$ no es sobre?

Question

Sabemos que el mapa de $x\mapsto \overline x $, al pasar de $X\to X^{**}$ $\overline x(f)=f(x)$ es un delimitada operador lineal tal que $||\overline x||=||x||$ donde $X^{**}$ es el doble doble de la de un NLS $X$

Pero se dice que, en general, la asignación no puede ser porque en $X$ no puede ser un Espacio de Banach, sino $X^{**}$ siempre es de Banach.

Yo no estoy recibiendo la lógica de por qué la asignación no es en general.Será tan amable de explicar por qué $X$ no Banach $\implies x\mapsto \bar x$ no es sobre ?

Por favor me ayude.

Answer 1

$x \mapsto \bar x$ es una isometría. Si también es surjective, entonces la integridad de $X^{**}$ implica la integridad de $X$, pero $X$ no es completa.

Prueba:

Supongamos $(x_j)_{j=0}^\infty$ es de Cauchy en $X$, $(\bar x_j)_{j=0}^\infty$ es de Cauchy en $X^{**}$, por lo que hay un límite de $\bar x$. Suponga que $x \mapsto \bar x$ es bijective (inyectividad de la siguiente manera a partir de isometría). A continuación,$x$, la inversa de la imagen de $\bar x$, sería un límite de $(x_j)_{j=0}^\infty$, ya que el $\|x - x_j\| = \|\overline{x - x_j}\| = \|\bar x - \bar x_j\| \to 0$, pero $X$ es incompleta, por lo que la suposición es absurda.

Answer 2

Supongamos que $x \mapsto \bar{x}$ es sobre. Desde $X$ no es completa, existe una secuencia de cauchy $\{x_n\} \subset X$ que no tiene límite en a $X$. Desde $f$ es un delimitada operador lineal, es continuo, de modo que $f(x_n) \to y$ algunos $y \in X^{**}$ $X^{**}$ es completa. Desde que asumió surjectivity, existe alguna $x \in X$ tal que $f(x) = y$. Pero por la asignación abierta teorema de la, $f^{-1}$ es continuo, lo que implica que $f(x_n) \to y \Rightarrow f^{-1}(f(x_n)) \to f^{-1}(y) \Rightarrow x_n \to x$. Pero ya dijimos que, en $\{x_n\}$ no tiene límite en a $X$, una contradicción.