si $a,b\in A$, $a\mid b$ a continuación, $f(a)\mid f(b)$ tenemos $\exists m\in A : f(m)=m$

Question

supongamos $n\in \Bbb N$ $A$ es el conjunto de los divisores de a $n$ $f:A\to A$ es una función tal que:

si $a,b\in A$, $a\mid b$ a continuación, $f(a)\mid f(b)$

cómo probar : $ \exists m\in A : f(m)=m$

es que parece que se tiene una solución con el principio del Palomar.

Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia:
Considerar la secuencia de $1\mid f(1), f(1)\mid f(f(1)),f(f(1))\mid f(f(f(1))), \ldots$

Más ayuda:
Suponga que $1\neq f(1), f(1)\neq f(f(1)),f(f(1))\neq f(f(f(1)))\ldots$ para obtener una contradicción.

Answer 2

Sugerencias:

• La divisibilidad relación es un orden parcial, y el entramado correspondientes al conjunto de los divisores de a $n$ es completa.
• En este establecimiento $\forall a,b\in A.\ a \mid b \implies f(a) \mid f(b)$ significa que $f$ es el fin de la preservación de.
• El resultado es una conclusión a partir de Knaster-teorema de Tarski. Por ejemplo, tomar algunos de $x \in A$, no esta secuencia $\langle x,f(x),f(f(x)),f^{(3)}(x),\ldots \rangle$ convergen?

Buena suerte!

Answer 3

Aquí está una más general, resultado que se adapta al problema.

• Deje que B sea un conjunto finito (B $\subset \mathbb{N}$) tal que existe u (su mayor elemento) y v (su elemento más pequeño) $ \in$ B que verifica $\forall$ b $\in$ B , v | b | u

• Deje $\textit{f}$ :B $\rightarrow $B tal que si $a,b\in B$, $a|b$ a continuación, $f(a)|f(b)$

• Vamos a demostrar por una fuerte inducción de la tarjeta(B) $\textit{f}$ tiene al menos un punto fijo

• Si card(B) = 1, es trivial

• Supongamos el resultado cierto para todos los k $\in$ {0,1,..,n}

Si card(B) = n+1 ,

• si f(v)=v entonces se hace

• otra cosa, v | $\textit{f}$(v) implica que v < $\textit{f}$(v)

Deje que B' = B \ {b $\in B$/ $\textit{f}$(b)=v}

u $\in$ B' (si no $\textit{f}$(u)=v implica $\textit{f}$(v)|v lo cual es absurdo

dado que v< $\textit{f}$(v))

• Entonces B es un conjunto finito que verifica la planta la hipótesis anterior, con la tarjeta B') < n+1

Por nuestra suposición de abajo, $\textit{f}$ con B como entradas tiene al menos un punto fijo m

• Puesto que B' $\subset$ B , m es también un punto fijo de f con B como entradas de conjunto

• Por lo tanto el resultado con tarjeta(B) = n+1

• Conclusión: el resultado se cumple para cualquier B con la anterior planta la hipótesis de

• Aquí, u=n y v= 1