Mostrar que $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}g(x)f(nx)dx = \Big(\int_{0}^{1}g(x)dx\Big)\Big(\int_{0}^{1}f(x)dx\Big)$

Question

Soy nuevo en este tipo de mathjax formato, así que siéntase libre para perfeccionar esta pregunta. He intentado mi mejor esfuerzo con el formato.

De todos modos, esta es una pregunta que me he encontrado en una hoja de tarea, y yo no sé ni por dónde empezar:

Deje $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb R$ ser una continua real de la función con valores tales que $f(x+1)=f(x)$ todos los $x\ge0$. Si $g:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ es arbitraria función continua, muestran que $$\lim_{n\to \infty}\int_0^1g(x)f(nx)\,dx = \left(\int_0^1g(x)\,dx\right)\left(\int_0^1f(x)\,dx\right).$$

Nos dieron una pista:

$$\int_0^1 g(x)f(nx)\,dx = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \int_{i-1}^i g\left(\frac{u}{n}\right)f(u)\,du,$$ and put $t = u - i + 1.$

No tengo absolutamente ninguna idea de por dónde empezar. Mis pensamientos son que esta pregunta va a implicar el uso de Lebesgue del teorema de convergencia, y tal vez la monotonía teoremas de convergencia. Tengo una comprensión básica de estos teoremas, pero todavía se lucha cuando se deben aplicar. Mi entendimiento es que:

1. La función debe ser de Riemann Integrable
2. $f_n \rightarrow f$ en casi todas partes
3. $|f_n| \le g \in L^1$

Entiendo 1., y la clase de entender 3. pero yo nunca voy a poder probar 2. sin ningún tipo de ayuda. De hecho, sólo tengo una vaga comprensión de la 2. y 3.

He intentado muchas preguntas, pero solo no puede terminar sin ayuda. Mi opinión es que me falta un entendimiento básico sobre la teoría de la medida y también me falta la práctica, a pesar de que he estado gastando una gran parte del tiempo en este tema, en el presente semestre. Todo es nuevo y extremadamente difícil. Agradecería algunos libros sobre el tema, los apuntes de clase son muy buenos, pero creo que no es suficiente en este punto. Quiero algo mejor que un simple pase (y si tengo la intención de pase, voy a fallar el asunto) -- de hecho, quiero entender.

Cualquier ayuda y recomendaciones son apreciados. Gracias!

Answer 1

Prueba. Permítanos asumir que $f$ es Lebesgue integrable en $[0, 1]$ $g$ es Riemann integrable en $[0, 1]$, como esta generalización rara vez se daño la esencia de la discusión. Entonces

$$ \int_{0}^{1} f(nx)g(x) \, dx \stackrel{nx=u}{=} \frac{1}{n}\int_{0}^{n} f(u)g\left(\frac{u}{n}\right)\,du = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{i-1}^{i} f(u)g\left(\frac{u}{n}\right)\,du. $$

Sustituyendo $v = u-i+1$, obtenemos

$$ \int_{0}^{1} f(nx)g(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(v) \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} g\left(\frac{v+i-1}{n}\right) \right] \,dv. $$

Ahora escribo $\Pi_n = \{0, \frac{1}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}, 1\}$ y deje $U_n = U(g, \Pi_n)$ $L_n = L(g, \Pi_n)$ denotar la parte superior de Riemann de la suma y la parte inferior de Riemann suma de $\Pi_n$, respectivamente. A continuación, $U_n$ $L_n$ convergen a la integral de la $I := \int_{0}^{1} g(x) \, dx$$n\to \infty$. Por otra parte,

$$ \forall v \in [0, 1] \ : \quad L_n \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} g\left(\frac{v+i-1}{n}\right) \leq U_n . $$

Por supuesto, también tenemos $L_n \leq I \leq U_n$. Así

$$ \left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} g\left(\frac{v+i-1}{n}\right) - I \right| \leq U_n - L_n $$

y por lo tanto

$$ \left| \int_{0}^{1} f(nx)g(x) \, dx - I \int_{0}^{1} f(v) \, dv \right| \leq (U_n - L_n) \int_{0}^{1} |f(v)| \, dv \xrightarrow[n\to\infty]{} 0. $$

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Idea. A grandes rasgos, $g$ apenas cambios en su valor, mientras que $f(nx)$ completa un período en un intervalo de longitud de $\frac{1}{n}$. De esta manera, los comportamientos de $g(x)$ $f(nx)$ son casi desacoplado para grandes $n$. ($g(x)$ sólo puede ver el " promedio de valor de $f(nx)$', mientras que $f(nx)$ difícilmente puede detectar el cambio de los valores de $g(x)$.) El argumento anterior proporciona un análisis cuantitativo de la versión de esta intuición.

Answer 2

Con la sustitución de $v=nx$, se obtiene $$ \int_0^1 g(x)f(nx)\,dx=\frac1n\,\int_0^n g(v/n)\, f(v)\,dv=\frac1n\,\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k g(v/n)\,f(v)\,dv. $$ Fix $\varepsilon>0$. Desde $g$ es continua en a $[0,1]$, es uniformemente continua por la compacidad, de modo que existe $\delta>0$ tal que $|g(y)-g(x)|<\varepsilon$ siempre $|x-y|<\delta$. Por lo tanto, si $n>1/\delta$, luego $$|g(v_1/n)-g(v_2/n)|<\varepsilon$$ for all $v_1,v_2\in[k,k+1]$. Así \begin{align} \left|\int_0^1 g(x)f(nx)\,dx-\frac1n\,\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k g((k-1)/n)\,f(v)\,dv\right|<\varepsilon. \end{align} Ahora, desde la $f(x+1)=f(x)$, \begin{align} \frac1n\,\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k g((k-1)/n)\,f(v)\,dv &=\frac1n\,\sum_{k=1}^ng((k-1)/n)\int_{k-1}^k \,f(v)\,dv\\ \ \\ &=\frac1n\,\sum_{k=1}^ng((k-1)/n)\int_{0}^1 \,f(v)\,dv. \end{align} Si elegimos $n$ lo suficientemente grande, podemos obtener $\frac1n\,\sum_{k=1}^ng((k-1)/n)$ arbitrariamente cerca de $\int_0^1 g(x)\,dx$. Es decir, podemos optar $n$ suficientemente grande como para que $$ \left|\int_0^1 g(x)f(nx)\,dx\int_0^1 g(x)\,dx\int_0^1 f(x)\,dx\right|<2\varepsilon. $$

Answer 3

Esta es esencialmente la misma respuesta como la de los demás, salvo que se centra en el hecho de que una determinada Riemann aproximación converge a $\int g$ casi en todas partes (ae.) después de lo cual se puede utilizar el teorema de convergencia dominada.

Si $g$ es Riemann integrable, entonces para la ae. $t$, la función $g_n(t) = {1 \over n} \sum_{k=0}^{n-1} g({t+k \over n})$ satisface $L(g,P_n) \le g_n(t) \le U(g,P_n)$ donde $P_n$ es la partición $(0,{1 \over n}, \cdots, {2 \over n}, \cdots, { n \over n})$.

Desde $g$ es Riemann integrable, eligiendo $n$ lo suficientemente grande, podemos ver que $g_n(t) \to \int g$ para la ae. $t$.

Desde $\int_0^1 g(x) f(nx) dx = \int g_n(t) f(t) dt$, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada para obtener el resultado deseado.