Resuelve la desigualdad $\sin(x)\cdot|\tan{x}|\le\frac{3}{2}$

Question

Como en el título, resuelve la desigualdad $\sin(x)\cdot|\tan{x}|\le\frac{3}{2}$ para $x\in[0;2\pi]$ . Mi preocupación es que no sé cómo deshacerme del signo de valor absoluto - ¿debo considerar por separado los casos del $\tan{x}$ ser positivo y negativo?

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Sí. La ecuación es equivalente a la pareja de sistemas: $$ \begin{cases} \tan x\ge 0\\ \frac{\sin^2 x}{\cos x}\le \frac{3}{2} \end {cases} \quad \lor \quad \begin{cases} \tan x< 0\\ -\frac{\sin^2 x}{\cos x}\le \frac{3}{2} \end {cases} $$

Answer 2

Una pista:

\begin{cases} \tan x &, 1º Q &\text{or}&3ºQ\\ -\tan x &, 2º Q &\text{or}&4ºQ \end{cases}

Ahora resuelve en cada caso.

$1.$ $1º Q$ o $3ºQ$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos x} \le\frac{3}{2}\rightarrow \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} \le\frac{3}{2}\rightarrow \frac{2-2\cos^2 x-3\cos x}{2\cos x} \le0$$

$1.$ $2º Q$ o $4ºQ$

$$-\frac{\sin^2 x}{\cos x} \le\frac{3}{2}\rightarrow \frac{-1+\cos^2 x}{\cos x} \le\frac{3}{2}\rightarrow \frac{-2+2\cos^2 x-3\cos x}{2\cos x} \le0$$

Answer 3

Dejemos que $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Por lo tanto, tenemos que resolver $$\frac{\sin^2x}{\cos{x}}\leq\frac{3}{2}$$ o $$\frac{(2+\cos x)(2\cos x-1)}{\cos x}\geq0,$$ que es $\cos x\geq\frac{1}{2}$ o $\cos x<0$ , lo que da $\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Dejemos que $x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$ .

Por lo tanto, tenemos que resolver $$-\frac{\sin^2x}{\cos{x}}\leq\frac{3}{2}$$ o $$\frac{(2-\cos x)(2\cos x+1)}{\cos x}\geq0,$$ que es $\cos x\leq-\frac{1}{2}$ o $\cos x>0$ , lo que da $\left[\frac{2\pi}{3},\pi\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$ .