Supongamos $(M,\gamma)$ es un colector de Riemann, $g$ una isometría, $\mbox{d}x$ la de Riemann forma de volumen en $(M, \gamma)$. Realmente no puedo entender estas fórmulas, a veces se encuentran en la literatura. En primer lugar,
\begin{equation}\tag{1} g^*(\mbox{d}x) = \mbox{d}x\circ g^{-1}. \end{equation}
A continuación, vamos a $f : M \to N$ ser una función suave (aquí, $g$ puede ser visto como un elemento de un grupo de $G$ actuando por isometrías en algunos especificado manera en ambos $M$$N$); a veces me parece
\begin{equation}\tag{2} \vert{\mbox{d}(g \circ f)}\vert^2 = \vert \mbox{d}f\vert^2 \circ g^{-1}. \end{equation}
No puedo entender el significado preciso de los rhs. Yo sé lo que las operaciones involucradas son (pullback, exterior derivados, la conmutación de la propiedad de retroceso y exterior derivada, diferencial, la regla de la cadena...); mi problema preocupación de lo que uno significa, precisamente, al escribir una cosa como $g^*(\mbox{d}x) = \mbox{d}x \circ g^{-1}$ en lugar de
\begin{equation} g^*(\mbox{d}x) = \sqrt{|\gamma(g(x))|}J_g(x)\mbox{d}g^1(x) \wedge\dots \wedge \mbox{d}g^m(x) = \mbox{d}(g(x)). \end{equation}
Aquí, $m = \dim M$, $J_g(x)$ el jacobiano de la transformación de coordenadas $g$ evalueted en $x$ mientras $\sqrt{|g^*(\gamma(x))|} = \sqrt{|\gamma(g(x))|}$ porque $g$ es una isometría.
No estoy muy metido en el diferencial y la geometría de Riemann, por lo que probablemente estoy perdiendo algo totalmente primaria.
