El rango está dado por
$$R(v_0,\theta_0)=\frac{v_0^2\sin2\theta_0}g$$
El tiempo de vuelo es dada por:
$$\tau(v_0,\theta_0)=\frac{2v_0\sin\theta_0}g$$
El punto de máxima está dada por:
$$\nabla\tau(v_0,\theta_0)=0$$
Nuestro limitar aquí es que $R$ es fijo. por lo $\lambda R$ también es fijo. Así que la adición de a $\tau(v_0,\theta_0)$ no alterar $\nabla\tau(v_0,\theta_0)$.
Lagrange ha inventado este truco. Que $\lambda$ es la igualación constante que corrige las unidades, escala, etc. Ahora vamos a utilizar.
$$\nabla(\tau(v_0,\theta_0)+\lambda R)=0$$
$$\nabla(\frac{2v_0\sin\theta_0}g+\lambda\frac{v_0^2\sin2\theta_0}g)=0$$
$$\nabla(2v_0\sin\theta_0+\lambda v_0^2\sin2\theta_0)=0$$
$$(\sin\theta_0+\lambda v_0 \sin2\theta_0,\cos\theta_0+\lambda v_0\cos2\theta_0)=0$$
Da,
$$-\lambda v_0=\frac1{2\cos\theta_0}\ \ ,\ \ \cos\theta_0=-\lambda v_0\cos2\theta_0$$
$$\sin^2\theta_0+\cos^2\theta_0=1\ \ , \ \ v_0=-\frac1{2\lambda\cos\theta_0}$$
Considerando $L_- \le v_0 \le L_+$, obtenemos,
$$-\frac1{2\lambda L_+}\le \cos\theta_0 \le -\frac1{2\lambda L_-}$$
Por lo $\theta_0$ puede ser cualquier cosa, siempre que cumplan con la condición anterior, y en la parte superior de la línea, tenemos $v_0$ como una función de la $\theta_0$. Así que todo está resuelto.
Excepto una cosa, yo no he estudiado cómo encontrar $\lambda$ todavía. :D Lo siento. Otros familiarizados con el método de Lagrange puede ayudarme a completar mi respuesta.
