La finalización de la prueba del teorema 3.3 en Dale Husemoller: Curvas Elípticas

Question

Quiero leer la prueba del siguiente teorema:

Esta es de la p.35. Pero no completas. Allí está escrito que:

Alguien me puede decir donde puedo encontrar el resto de la prueba?

Otras fuentes también son bienvenidos :)

Gracias de antemano

Answer 1

Reclamo: Vamos a $E: y^2=x^3+D$ $p>3$ ser una de las primeras. Entonces, no hay ningún punto de la orden $p$$E(\mathbb{Q})$.

Aquí están algunas sugerencias. Deje $p>3$ ser una de las primeras como en la declaración de la reclamación:

• Si $q$ es un primo tal que $q\equiv 2 \bmod 3$, e $q$ no divide $6D$,$E(\mathbb{F}_q)=q+1$.

• Un primer $q$ que no divida a $6D$ es un alojamiento de buena reducción de $E$. Por lo tanto, $E(\mathbb{Q})[m]$ incrusta en $E(\mathbb{F}_q)$ al $\gcd(m,q)=1$.

• En particular, si $E(\mathbb{Q})[p]$ no es trivial, entonces $q+1$ es divisible por $p$, para todos los números primos $q\equiv 2\bmod 3$$q>6D$. En otras palabras, cada primer $q\equiv 2 \bmod 3$ $q>6D$ satisface $q\equiv -1 \bmod p$ (contradicción!).

Answer 2

Como Álvaro Lozano-Robledo ya se mostró, para demostrar que no se $p$-torsión es suficiente para encontrar un primer $q \not\mid 6D$ tal que $q \equiv 2 \bmod 3$ $q \not\equiv -1 \bmod p$. El remate dejó escondida es que la existencia de tales $q$ está garantizado por El teorema de Dirichlet en números primos en progresiones aritméticas. Elija $m_0 \not\equiv 0, -1 \bmod p$ (decir $m_0=1$). Por el Teorema del Resto Chino, existe $m \equiv m_0 \bmod p$ tal que $m \equiv 2 \bmod 3$. A continuación, $m$ es coprime a $3p$, así que por Dirichlet hay una infinidad de números primos $q \equiv m \bmod 3p$. Ya que hay sólo un número finito de factores de $6D$, de ello se deduce que no son primos $q \equiv 2 \bmod 3$ que no son ni factores de $6D$ ni congruente a $-1 \bmod p$, y hemos terminado.