Es que cada proyección en un espacio de Hilbert ortogonal?

Question

Estoy muy dudoso que la respuesta es "sí", pero no puedo ver lo que es incorrecto acerca de este muy básico prueba que he pensado. Si alguien podría señalar mi error, se lo agradecería. Mi lógica es la siguiente:

Reclamo: Cada proyección en un espacio de Hilbert es ortogonal.
La "prueba":
1. Para cualquier espacio lineal $X$, es cierto que da una proyección de $P: X \rightarrow X$ (donde $P$ es una proyección iff $P$ es lineal y satisface $P^2 = P$), tenemos $X = \text{ran}(P) \oplus \text{ker}(P)$.
2. Suponga que X es un espacio de Hilbert (que es, por definición, lineal). Desde $\text{ker}(P)$ es un cerrado lineal subespacio de $X$, luego por el teorema de la proyección, $X = \text{ker}(P) \oplus \text{ker}(P)^\perp$ es una suma directa ortogonal.
3. Por lo tanto, $\text{ker}(P)^\perp = \text{ran}(P)$, lo $X = \text{ran}(P) \oplus \text{ker}(P)$ es una suma directa ortogonal. Por lo tanto, $P$ es una proyección ortogonal.

Answer 1

Cuidado, $E=F\oplus G=F \oplus H$ no implica $G=H$.

Answer 2

Su argumento es falso, porque supongo que usted tiene en mente un proyector ortogonal, es decir, un mapa de $P: X \to X$ tal que $P^2 = P$ también $P^{\top} = P$ (o $P^* = P$). Aquí está un ejemplo sencillo. Descomponer $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}e_1 \oplus \mathbb{R}(e_1 + e_2)$ donde $e_1,e_2$ es la base canónica es decir $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$. Entonces usted tiene una proyección de $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dado por tomar cualquier vector $v$ a su componente en $\mathbb{R}(e_1 + e_2)$ a lo largo de $\mathbb{R}e_1$ por ejemplo $P(e_1) = 0 , P(e_2) = e_1 + e_2$, $P$ es un proyector es decir $P^2 = P$, por definición. Pero no es ortogonal ya que los vectores $e_1$ $e_1 + e_2$ no son perpendiculares.

Answer 3

Que $X = \ker(P) \oplus \ker(P)^\perp $$X = \ker(P) \oplus \text{ran}(P)$ ; pero luego, su implicación (3) que "por lo $\ker(P)^\perp = \text{ran}(P)$" se basa en la suposición de que el suplemento espacio de $\ker(P)$ es único, lo cual no es cierto en general.

Answer 4

Una proyección de $P$ debe ser pensado como estar en un subespacio $A$ en relación a un subespacio $B$.

Como un simple ejemplo, mirar a $\mathbb{R}^{2}$ con el estándar de base $\{ e_1, e_2\}$. Otra base para la $\mathbb{R}^{2}$$\{ e_1, e_1+e_2 \}$. La proyección ortogonal de a $\mathbb{R}^{2}$ a $[\{e_1\}]$$Px = (x,e_1)e_1$. Sin embargo, si desea escribir $x$ en términos de la segunda base, \begin{align} x & = (x,e_1)e_1+(x,e_2)e_2 \\ & = (x,e_1)e_1+(x,e_2)(e_1+e_2)-(x,e_2)e_1 \\ & = \{ (x,e_1) - (x,e_2) \}e_1 + (x,e_2)(e_1+e_2). \end{align} Esto da lugar a una segunda proyección en $[\{e_1\}]$: $$ Qx = (x,e_1-e_2)e_1. $$ Usted puede comprobar que esto es una proyección en $[\{e_1\}]$ así: \begin{align} Q^{2}x & = (Qx,e_1-e_2)e_1 \\ & = ((x,e_1-e_2)e_1,e_1-e_2)e_1) \\ & = (x,e_1-e_2)(e_1,e_1-e_2)e_1 \\ & = (x,e_1-e_2)e_1 = Qx. \end{align} Ambas proyecciones son a $[\{e_1\}]$, pero la primera es relativa a $[\{e_2\}]$, mientras que la segunda es relativa a $[\{e_2-e_1\}]$; estos son diferentes, aunque $[\{e_1\}]\oplus[\{e_2\}] = [\{e_1\}]\oplus[\{e_2-e_1\}]$.