La singularidad de lo original

Question

En la de Maxwell-Ampère ecuación, es decir: \begin{equation} \nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{equation} el $\vec{J}_d$ plazo: $$ \vec{J}_d := \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$ se obtiene tomando la divergencia de la parte izquierda de la ecuación. Explícitamente, antes de Maxwell, además de la $\vec{J}_d$ plazo de la ley de Ampère fue: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$, pero cuando se actúa con $\nabla \cdot$ hemos tenido: $$ 0 \equiv \nabla \cdot \left(\nabla\times\vec{B}\right) = \mu_0 \nabla\cdot\vec{J} = -\mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t} $$ from the $\texto{div}(\text{curl}\ \bullet)$ identity and the continuity equation. But $\frac{\partial \rho}{\partial t} $ is not necessarily zero so we need to add a new term let's call it $\vec{J}_d$. And now comes my question. We need $\vec{J}_d : \nabla\cdot\left( \vec{J} + \vec{J}_d \right) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot \vec{J}_d = \frac{\partial \rho}{\partial t} $. And indeed $\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ es una solución, pero para esta "prueba de la divergencia" $$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$$ donde $\vec{k}$ es un vector constante, o incluso $$\vec{J''}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$$ where $\vec{T}$ is any vector, satisfy $\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{J}_d\right) = 0$. Why, then does $\vec{J}_d$ tiene la forma que tiene y no cualquiera de los otros posibles soluciones presentadas anteriormente?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pero seguro que no es la única limitación.

Si $$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$$ entonces $$ \nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{k} $$

Esto implica que, incluso sin cualquier actual o tiempo-dependiente de campo eléctrico no es un no-conservadora campo magnético. Pero sin corrientes o dependiente del tiempo de los campos eléctricos sabemos que el campo B es curl-libre.

Answer 2

En primer lugar, no se puede definir $$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + k$$ porque se estaría agregando un vector por un escalar, así que nos quedamos con la segunda idea:

$$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$$

Si tomamos esto como el valor de $\vec{J}_d$, luego de Ampere de la ley se convierte en

$$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$$

Considere la posibilidad de una circunstancia donde el campo eléctrico es constante ($\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$) y no hay corrientes ($\vec{J} = 0$). Modificado de Ampere ley predice que

$$\nabla\times\vec{B} = \nabla \times \vec{T}$$

Pero experimentalmente, nos encontramos con que en tales circunstancias, $\nabla \times \vec{B} = 0$, por lo que llegamos a la conclusión de que $\nabla \times \vec{T} = 0$

Answer 3

Las otras respuestas de decir algunas cosas interesantes acerca de las consecuencias de este término, pero la mayor razón por la que no hay es que todos los experimentos han confirmado que las ecuaciones de Maxwell como los conocemos, y no hay evidencia de que una modificación sería necesario.

Después de todo, las ecuaciones no son los únicos: por ejemplo, que podría ser fácilmente modificado para incluir los monopolos magnéticos y que se haría más simétrica. Pero nadie ha visto jamás a un monopolo magnético, y por lo que no aparecen en las ecuaciones de Maxwell.

Answer 4

Explícitamente, antes de Maxwell, además de la $\vec{J}_d$ plazo de Ampere de la ley era: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$

La cosa importante a entender con todo esto es que la ley de Ampere es acerca de la conducción actual, y el de conducción de corriente no es la única corriente. Eche un vistazo a Domar la Luz en la Nanoescala:

"Mira a tu alrededor, y probablemente verá numerosos electrónicos y ópticos aparatos, como teléfonos móviles, asistentes personales digitales, ordenadores portátiles, Televisores y cámaras digitales. Todo ello puede hacer cosas diferentes, pero tienen una cosa en común: en los circuitos electrónicos que la unidad de estos dispositivos, las partículas cargadas que fluyen a través de los componentes y de impartir energía a través de lo que se conoce como la conducción actual. Pero es el movimiento de partículas cargadas, la única corriente que tenemos disponibles?"

La respuesta es no, porque también tenemos corriente de desplazamiento. Es "un tiempo variable de campo eléctrico", y eso es exactamente lo que vemos cuando una onda electromagnética pasa a nosotros. No hay ninguna partícula cargada presente, pero la corriente de desplazamiento está presente, y es la alternancia: el campo de variación aumenta hasta un máximo, luego disminuye de nuevo a cero. Nota que se le pueda poner a esta onda a través de la producción de par, por lo que podremos convertir la corriente de desplazamiento en partículas cargadas. Luego, cuando se mueven, lo que llamamos el fenómeno de la conducción actual. También tenga en cuenta que debido a esto, la corriente de desplazamiento es más fundamental que la conducción actual. Y que sabiendo todo esto deja en claro que la versión original de la ley de Ampere no van lo suficientemente lejos:

"La ley de Ampère determina el campo magnético asociado con una determinada corriente, o el actual asociado con un determinado campo magnético, siempre que el campo eléctrico no cambia con el tiempo".

Por qué, entonces, $\vec{J}_d$ tiene la forma que tiene y no cualquiera de los otros posibles soluciones presentadas anteriormente?

Porque de lo corriente de desplazamiento . Maxwell efectivamente trabajado atrás de Ampere y de conducción de corriente, y terminó diciendo: "la luz está compuesta de ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos". Cuando la gente lee esto tienden a pensar sinusoidal E y B de las ondas:

_{Imagen cortesía de mathematica}

Sin embargo, eso no va lo suficientemente lejos. Ver la Wikipedia radiación electromagnética artículo:

"También, E y B, campos lejanos en el espacio libre, que como onda soluciones dependen principalmente de estas dos ecuaciones de Maxwell, están en la fase uno con el otro. Esto está garantizado, ya que el genérico solución de onda es de primer orden en el espacio y el tiempo, y el curl de operador en un lado de estas ecuaciones resultados en primer orden espacial de los derivados de la solución de onda, mientras que el tiempo de derivados en el otro lado de las ecuaciones, lo que le da el otro campo, es de primer orden en el tiempo, lo que resulta en el mismo cambio de fase para ambos campos en cada operación matemática."

E es el espacial derivado de la ola, y B es el tiempo derivativo. Así, el real de la onda es la integral de la E y B de ondas sinusoidales. Voy a ilustrar esto con una canoa analogía: imagina que estás en una canoa como de diez metros de las olas del mar* enfoques. Su canoa comienza a extenderse hacia arriba, primero lentamente, luego más rápido, entonces la pendiente comienza a aplanar, y su canoa es momentáneamente horizontal en la parte superior de la ola. En este punto de la corriente de desplazamiento es a un máximo, en el punto medio de la E y B de ondas sinusoidales. A continuación, el proceso se invierte, algo como esto:

La pendiente de su canoa se denota E, y la tasa de cambio de la pendiente indica B. Uno es el espacial derivado, el otro es el tiempo derivativo. La corriente de desplazamiento es representado por la corriente de agua que levantó usted corporales arriba ↑ por diez metros, a continuación, deje abajo ↓ nuevo. Se tiene un vector de la naturaleza, y el |dirección| es la polarización de la dirección. Lo escribimos como:

$$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

La adición de una constante k sería como repetir la canoa, el escenario en el agua más profunda. La onda es de 10 m de alto, por lo que el agua más profunda, no alterar la inclinación de su canoa o lo alto que ir. No se puede agregar algo a uno de los lados de la expresión, puesto que cada lado es decirle a usted acerca de un aspecto de la ola, y no se puede cambiar de un lado sin cambiar el otro.

^{* sin un comedero}