Mostrar que si $\int_0^x f(y)dy \sim Ax^\alpha$ $f(x)\sim \alpha Ax^{\alpha -1}$

Question

Deje $f$ ser real, función continua definida en $[0,\infty)$ tal que $xf(x)$ es el aumento para todos los suficientemente grandes valores de $x$. Demostrar que si

$$\int_0^x f(y)\,dy \sim Ax^\alpha \quad \left(\,x\to \infty\right)$$

para algunas constantes positivas $A$$\alpha$, luego

$$f(x)\sim \alpha Ax^{\alpha -1} \quad \left(\,x\to \infty\right).$$

Claramente, tengo que usar la diferenciación en algún lugar, pero no sé cómo manipular $\lim_{x\to \infty}\frac{\int_0^x f(y)\,dy}{Ax^\alpha}=1$ para obtener el resultado deseado.

A partir de las sugerencias dadas, yo sé que por L'hospital de la regla, es suficiente para demostrar que el límite de $\lim \frac{f(x)}{\alpha Ax^{\alpha -1}}$ existe, y este límite es igual a $ \lim \frac{xf(x)}{\alpha Ax^{\alpha}}$. From here, I'll need to use the given assumption that $xf(x)$ es aumentar el tiempo. Pero, ¿cómo puedo demostrar la existencia del límite basado en estos hechos?

Les agradecería mucho cualquier soluciones, consejos o sugerencias.

Answer 1

Ooh, un tauberian teorema con un simple elemental de la prueba, fresco.

Suponga $x$ es siempre tan grande por debajo de ese $xf(x)$ es cada vez mayor. Fix $\delta>0$. De ello se sigue que $$\int_x^{(1+\delta)x}f(y)\,dy\sim A((1+\delta)^\alpha-1)x^\alpha.$$In particular, if $x$ is large enough we have $$\int_x^{(1+\delta)x}f(y)\,dy\le(1+\delta)A((1+\delta)^\alpha-1)x^\alpha.$$But $yf(y)$ increasing shows that $$\int_x^{(1+\delta)x}f(y)\,dy\ge\int_x^{(1+\delta)x}\frac{xf(x)}{y}\,dy=xf(x)\log(1+\delta),$$and combining this with the previous inequality shows that if $x$ is large enough then$$\frac{f(x)}{x^{\alpha-1}} \le\frac{(1+\delta)Un((1+\delta)^\alpha-1)}{\log(1+\delta)}.$$Letting $\delta\to0$ now shows that $$\limsup\frac{f(x)}{x^{\alpha-1}}\le\alpha A.$$The inequality $\liminf f(x)/x^{\alpha-1}\ge\alpha$ is proved similarly, starting with $$\int_{(1-\delta)x}^xf(y)\,dy\sim A(1-(1-\delta)^\alpha)x^\alpha.$$

Answer 2

En primer lugar, obviamente, $Ax^\alpha\to+\infty$

Ahora, podemos ver que

$\lim\frac{\int_0^x f(y)dy}{Ax^\alpha}=1$ , lo que significa que

$\lim \int_0^x f(y)dy = \lim Ax^\alpha=+\infty$

Ahora, usted puede usar la regla de L'hospital.

Aunque ya sabemos que el límite es $1$, de L'hospital de la declaración es más que eso.

Afirma que $\lim \frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$, lo que técnicamente significa que usted consigue lo que usted desea.