Fijar un espacio vectorial $V$ de dimensiones finitas, por ejemplo. El espacio dual está definido por $$V^\ast = \{ f: V \to \Bbb R \mid f \text{ is linear} \}.$$
mi entendimiento es que una función envía un número a un número real, cuando escribo $f(4)=5$ No estoy enviando un vector a un número
Si $f: \Bbb R \to \Bbb R$ es lineal, y estás buscando la primera $\Bbb R$ como campo vectorial, y el segundo $\Bbb R$ como campo subyacente, entonces $f \in \Bbb R^\ast$ . Estás aplicando $f$ en un vector: $4$ (un elemento de la primera $\Bbb R$ ).
son ya vectores que satisfacen todos los axiomas del espacio vectorial $V$ por qué pertenecería también al espacio dual del espacio vectorial $V^∗$ ?
Vectores son elementos de un espacio vectorial . Así que las funciones son vectores, porque son elementos de un espacio vectorial (el espacio dual del espacio inicial). Las funciones no verifican necesariamente los axiomas de $V$ . Lo harán por $V^\ast$ con las operaciones definidas puntualmente.
¿Qué significa "función lineal" en este caso? ¿Por qué el espacio dual no es el espacio de las funciones no lineales como $f(x)=\sin(x)$
Dado $V,W$ espacios vectoriales sobre el mismo campo, por ejemplo, $\Bbb R$ decimos que $T: V \to W$ es lineal si $T(x+\lambda y) = T(x)+\lambda T(y)$ para todos $x,y \in V$ y para todos $\lambda \in \Bbb R$ . El espacio dual sólo considera las funciones lineales por definición, ya que tienen propiedades y aplicaciones especiales (como lineal aproximaciones, derivadas, etc), y son más fáciles de trabajar que las funciones arbitrarias.
