Unidades de 2 por 2 matrices con entradas entero

Question

Sé que las unidades de 2 por 2 matrices con números enteros las entradas deben tener un factor determinante de 1 o -1, y me han demostrado que si el determinante es cero, entonces la matriz no es una unidad, sin embargo, me pregunto cómo le iría a demostrar que las matrices con los determinantes distinto de 1 y -1 no son unidades?

Answer 1

Un elemento $\;r\;$ en un anillo es una unidad, si existe otro elemento $\;x\;$ hay.t. $\;rx=1\;$ .

Si $\;A,B \;$ son cuadrados entero matrices ,entonces

$$AB=1\implies \det A=\frac1{\det B}\;$$

Pero el último número no entero si $\;\det B\neq\pm 1\;$ ...

Answer 2

Dada una matriz de enteros $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ it's inverse is $$ \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} .$$ This will be a matrix of integers if and only if $\frac{1}{ad-bc} \in \mathbb Z$.