Contradiciendo Anidada Radicales

Question

Me encontré con una pregunta que me intriga. La tarea es encontrar la forma simplificada de la $$x\sqrt[2]{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7] {x}}}}}}$$ my answer is $$x^\frac{433}{252}$$ but as I graph the unsimplified nested radical to desmos grapher, the graph covers all real numbers as its domain and all real numbers as its range. But as I graph $$x^\frac{433}{252}$$ the graph only assumes all positive numbers as its domain and $$[0,+infinity)$$ as its range... I check the given and I notice something. If I give a negative value for x,, then evaluates the unsimplified nested radical from the inside, the sign follows the parity of the index... it means that it was smoothly evaluated through all indexes.. resulting to a negative final result. But if I give the same negative value of x to the simplified form that is $$x^\frac{433}{252}$$ incluso el poder hará que el número dado positivo por lo tanto el resultado final será positivo. Es contradics anteriores resultado. Creo que me falta un concepto fundamental aquí. Cualquier idea sería una gran ayuda. Tnx!!

Answer 1

Supongamos $x<0$; a continuación,

1. $\sqrt[7]{x}<0$
2. $x\sqrt[7]{x}>0$
3. $\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}>0$
4. $x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}<0$
5. $\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}<0$
6. $x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}>0$
7. $\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}>0$
8. $x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}<0$
9. $\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}}<0$
10. $x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}}>0$
11. $\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}}}>0$
12. $x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt[5]{x\sqrt[6]{x\sqrt[7]{x}}}}}}<0$

Así que usted puede definir la expresión para cualquier $x$, y el resultado es el mismo $$ |x|^{433/252}\operatorname{sgn}x $$

Answer 2

La identidad de $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ sólo es válida para no negativo $x$, exactamente porque de lo contrario te encuentras con problemas como el que tenemos aquí.

De hecho, incluso definining $x^a$ $a\notin \Bbb Z$ es difícil de bases negativas, por lo que comparar a raíz de $x$, lo que puede existir o no, sigue siendo una perspectiva dudosa.