Dominado el teorema / problema de la convergencia monótona

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $f_{n}$ ser una secuencia definida por $f_{n}(x)=(1-(x/n))^n\ln(x)1_{[1,n]}(x)$ por cada $x\in\mathbb{R}$, y para cada $n\geq 1.$ Muestran que $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\ln(x)1_{[0,\infty]}(x)dx.$$

Mi intento se basa en el uso de convergencia dominada porque el límite de la secuencia de $f_{n}$ convergencias sin problema a $e^{-x}\ln(x)1_{[0,\infty]}(x).$

Estoy atascado encontrar una función como domina la secuencia de $f_{n}$ y, por supuesto, ser integrable. He intentado delimitada $\ln(x)$ con la identidad de la función y $e^-x$; el problema aquí es que la secuencia de $(1-\frac{x}{n})^n$ es monotono decrecient.

Cualquier tipo de ayuda, se dio las gracias por adelantado.

Answer 1

Hay dos maneras odf provung él.

1. $\Bigl(1-\dfrac xn\Bigr)^n\chi_{[1,n]}(x)$ está aumentando en función de $n$ % todo $x>0$y el teorema de convergencia monótona.
2. $\Bigl(1-\dfrac xn\Bigr)^n\chi_{[1,n]}(x)\le e^{-x}$ % todo $x\ge0$y el teorema de convergencia dominada.

Answer 2

$x>0$ Puede utilizar la desigualdad $\ln{(x)}\le x-1$, por lo tanto, $$\frac{\ln(x)}{e^x}\le \frac{x-1}{e^x}$$ with $\int{0}^{\infty}e^{-x}(x-1) dx = [-xe ^ {-x}] {0} ^ {\infty} = 0$.