Campo de acción de la gravedad lineal asociado con spin-2 la partícula en el libro de Thorne

Question

En MTW libro no es un ejercicio en el que había propuesto para discutir linealizado tensor de gravedad, la cual es representada como $$ g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}, \quad \eta_{\mu \nu} = diag(1, -1, -1, -1). $$ Tengo la pregunta acerca de lagrange de los campos en este caso: en el libro está escrito en un formulario $$ L_{f} = -\frac{1}{32 \pi G}\left( \frac{1}{2}(\partial_{\alpha}h_{\nu \beta}) \partial^{\alpha}\bar {h}^{\nu \beta} - (\partial^{\alpha} \bar {h}_{\mu \alpha })\partial_{\beta}\bar {h}^{\mu \beta}\right) \qquad (1) $$ donde $$ \bar {h}^{\mu \nu} = h^{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta^{\mu \nu}h^{\alpha}_{\alpha} $$ Se argumenta que esta de lagrange se refiere a la spin-2 masa de campo. Entiendo esta expresión en general, pero no la entiendo en un detalle.

¿Por qué en el primer sumando en $(1)$$h_{\nu \beta}$, no $\bar {h}_{\nu \beta}$?

Answer 1

Prueba de la invariancia de la acción (para el uso de las integraciones por partes y descuidar la superficie de términos) en "lineal diffeomorphism" $h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \epsilon_\nu+\partial_\nu \epsilon_\mu$

[EDITAR]

Más precisiones :

El lineal diffeomorphism es sólo la linealización de la norma diffeomorphism :

$g^{'\mu\nu} = \frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial x^{'\nu}}{\partial x^{\tau}} g^{\sigma\tau}$

para una transformación de coordenadas $x^{'\mu} = x^\mu + \epsilon^\mu(x)$

conecta $g^{\sigma\tau} = \eta^{\sigma\tau} + h^{\sigma\tau}$, e $\frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^{\sigma}} = \delta^\mu_\sigma +\partial_\sigma \epsilon^\mu$, y donde sólo los términos lineales en $\epsilon$.

Debido a la invariancia de Lorentz, sólo ha $4$ posible cuadrática términos en la primera derivada de la $h_{\mu\nu}$ , y estamos buscando la combinación correcta que deja la acción invariantes bajo la lineal diffeomorphism (que no es sino un indicador de la invariancia de spin $2$ campo). Así que usted puede escribir :

$S = \int d^4x (A ~\partial_\alpha h_{\nu\beta}~\partial^\alpha h^{\nu\beta} + B ~\partial_\alpha h_\nu^\nu~\partial^\alpha h_\nu^\nu +C ~\partial_\alpha h^{\alpha\nu}~\partial^\beta h_{\beta\nu}+D ~\partial^\alpha h_\nu^\nu~\partial^\beta h_{\beta\alpha}) $

Podemos fijar un valor de $A$ aquí $A = \frac{-1}{32G} (\frac{1}{2})$, por lo que sólo tenemos $3$ variables a verificar.

Ahora, la variación $\delta S$ de la acción que se va a dar, después de la integración por partes, los términos en $\epsilon \partial^3h$, que es términos lineales en $\epsilon$$h$, con una tercera derivada en $h$, y sólo hay $3$ términos :

$\epsilon^\nu(\partial^2\partial^\mu h_{\mu\nu}), \epsilon^\nu (\partial_\nu \partial^2 h_\mu^\mu), \epsilon^\nu(\partial_\nu \partial^\mu \partial^\lambda h_{\mu\lambda})$

Los coeficientes de estos términos debe ser cero, así que usted tiene $3$ ecuaciones para $3$ variables $B, C, D$, por lo que son capaces de calcular sus valores.

Integración por partes funciona así, por ejemplo, el primer término, se tiene :

$\delta_1 S = A~ \delta(\partial_\alpha h_{\nu\beta}~\partial^\alpha h^{\nu\beta}) = 2A~( \partial_\alpha(2\partial_\nu \epsilon_\beta)\partial^\alpha h^{\nu\beta})$

Ahora, mediante la aplicación de $2$ los tiempos de la integración por partes, y dejar de lado la superficie de términos (total de productos derivados), se obtiene :

$\delta_1 S=4\epsilon_\beta \partial^2 \partial_\nu h^{\nu\beta}$

El resultado de su cálculo debe ser : $B=-A, C=-2A, D=2A$ , y usted puede comprobar que esto corresponde a su expresión original (que fue desarrollado en $h$ solamente en términos, por lo que mediante la sustitución de $\bar h$ términos por su valor)