Si $M^{\oplus n} \cong M^{\oplus m}$ $n=m$

Question

Deje $M$ ser un simple izquierda $R$-módulo donde R es un anillo. Es el siguiente afirmación verdadera? Si $M^{\oplus n} \cong M^{\oplus m}$$n=m$.

He visto algunos contraejemplos para el caso en que M no es sencillo, pero yo no podía pensar en uno para el caso en que M es simple. Además, no podía pensar en ninguna enfoques prometedores para probar la declaración. Las sugerencias son apreciados.

Answer 1

Probablemente la mayoría, básicamente, $M^n$ ha finito composición de longitud, y la composición de la longitud es un invariante para los módulos por el Jordan–Hölder teorema.

Por otro ángulo, $End(M^n_R)\cong \text{M}_n(End(M_R))$ como álgebras sobre el centro de la división de anillo de $End(M_R)$. Si $M^n$ $M^m$ fueron isomorfo, sus endomorfismo álgebras sería isomorfo demasiado.

De manera más general, los Krull-Schmidt-Azumaya teorema dice que si $\oplus_{i=1}^mM_i\cong \oplus_{i=1}^nN_i$, donde el $N_i$'s son indecomposable y el $M_i$'s son fuertemente indecomposable (lo que significa que tienen locales endomorfismo de los anillos), a continuación, $n=m$ e las $N_i$'s de la pareja con $M_j$'s. El endomorfismo anillo de un simple módulo es obviamente local.