deje $S_{10}$ denotar el grupo de permutaciones de diez símbolos ${1,2,3,....,10}$.Entonces, ¿cómo podemos calcular el número de elementos de a $S_{10}$ de los desplazamientos con el elemento $\sigma=(1\ 3\ 5\ 7\ 9)$?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- El fin de la centralizador de una permutación (3 respuestas )
Respuestas
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Dave
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Dado $\tau \in S_{10}$, con la condición de que $\tau$ debe conmutar con $\sigma$ es equivalente a $\tau \sigma \tau^{-1} = \sigma$. Pero $\tau \sigma \tau^{-1} = (\tau(1) \ \tau(3) \ \tau(5) \ \tau(7) \ \tau(9))$. La condición puede por lo tanto ser reescrita como $(\tau(1) \ \tau(3) \ \tau(5) \ \tau(7) \ \tau(9)) = (1 \ 3 \ 5 \ 7 \ 9)$.
Así $\tau(2)$, $\tau(4)$, $\tau(6)$, $\tau(8)$, $\tau(10)$ pueden ser elegidos libremente entre $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, rendimiento $5!$ posibilidades.
Por otro lado, una vez $\tau(1)$ ha sido elegido de entre $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, el resto de los valores de $\tau$ (es decir,, $\tau(3)$, $\tau(5)$, $\tau(7)$, $\tau(9)$) son totalmente determinado.
Por lo tanto, hay $5 \cdot 5! = 600$ permutaciones posibles desplazamientos con $\sigma$.
user8269
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46
El tamaño de la clase conjugacy de un elemento $g$ en un grupo de $G$ es el índice del subgrupo compuesto de los elementos que conmutan con a $g$. En el grupo simétrico, es fácil averiguar el tamaño de la clase conjugacy de $g$, ya que dos elementos son conjugado en el grupo simétrico si y sólo si tienen la misma estructura del ciclo. Así que todo lo que tiene que hacer para que su problema es averiguar cómo muchos de 5 ciclos que hay en $S_{10}$, y luego dividir el orden de $S_{10}$ por ese número.
