Ayuda para manipular las integrales

Question

Trato de expresar : $\displaystyle 1+2\sum _{ k=1 }^n \cos(2k\theta ) $

como : $\dfrac { \sin\left( \theta +2\theta n \right) }{ \sin\left( \theta \right) } $

He intentado utilizar la función exponencial :

$$I=\sum _{ k=1 }^n \cos(2k\theta ) ;\quad J=\sum _{ k=1 }^n \sin(2k\theta) $$

$I+i\cdot J=\displaystyle\sum _{ k=1 }^n e^{ 2ki\theta }$ y luego obtener sólo la parte real, pero sin éxito.

También he probado a multiplicar por $\dfrac {\sin(p)}{\sin(p)}$ (con $p$ una variable desconocida que determinaría más tarde), pero aún así, sin éxito.

Si alguien pudiera ayudar, o identificar el problema (sé que es uno bastante famoso)

Gracias

Answer 1

Hay muchas formas equivalentes de proceder. A continuación se presentan un par de métodos equivalentes.

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Primer método:

Dejemos que $$S = \sum_{k=1}^n \cos(2k \theta)$$ Entonces tenemos $$S \sin(\theta) = \sum_{k=1}^n \sin(\theta) \cos(2k \theta)$$ Recordemos que $$\sin(A) \cos(B) = \dfrac{\sin(A+B) - \sin(B-A)}2$$ Por lo tanto, obtenemos que $$S \sin(\theta) = \sum_{k=1}^n \dfrac{\left(\sin((2k+1) \theta) - \sin((2k-1) \theta) \right)}2$$ Ahora puedes ver una cancelación telescópica \begin{align} 2S \sin(\theta) & = \sin((2n+1) \theta) - \sin((2n-1) \theta)\\ & {}+ \sin((2n-1) \theta) - \sin((2n-3) \theta)\\ & {}+ \sin((2n-3) \theta) - \sin((2n-5) \theta) + \cdots\\ & {}+ \sin(3 \theta) - \sin(\theta) \end{align} Por lo tanto, obtenemos que $$2S \sin(\theta) = \sin((2n+1) \theta) - \sin(\theta) = 2 \sin(n \theta) \cos((n+1) \theta)$$ Por lo tanto, obtenemos que $$S = \dfrac{\sin(n \theta) \cos((n+1) \theta)}{\sin(\theta)}$$

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Segundo método:

Otra forma es mirar la parte real de $e^{2i k \theta}$ y sumar la progresión geométrica.

$$S = \text{Re} \left( \sum_{k=1}^n e^{2ik \theta} \right)$$ $$\sum_{k=1}^n e^{2ik \theta} = e^{2i \theta} \left(\dfrac{e^{2in \theta} - 1}{e^{2i \theta} - 1}\right) = e^{2i \theta} \left(\dfrac{1-e^{2in \theta}}{1-e^{2i \theta}}\right)$$ $$1-e^{2i \theta} = 1 - \cos(2 \theta) - i \sin(2 \theta) = 2\sin^2(\theta) - 2i \sin(\theta) \cos(\theta) = -2i \sin(\theta) e^{i \theta}$$ $$1-e^{2i n\theta} = -2i \sin(n\theta) e^{i n\theta}$$ $$\sum_{k=1}^n e^{2ik \theta} = e^{2i \theta} \times \dfrac{-2i \sin(n\theta) e^{i n\theta}}{-2i \sin(\theta) e^{i \theta}} = \dfrac{\sin(n \theta)}{\sin(\theta)} e^{i(n+1) \theta}$$ Por lo tanto, $$\text{Re} \left( \sum_{k=1}^n e^{2ik \theta} \right) = \dfrac{\sin(n \theta) \cos((n+1) \theta)}{\sin(\theta)}$$

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Tercer método:

También se puede utilizar la inducción directamente para demostrar $$\sum_{k=1}^n \cos(2k \theta) = \dfrac{\sin(n \theta) \cos((n+1) \theta)}{\sin(\theta)}$$ Para $n=1$ tenemos $$\cos(2 \theta) = \dfrac{\sin(\theta)\cos(2 \theta)}{\sin(\theta)}$$ Supongamos que es cierto para $n=m$ es decir $$\sum_{k=1}^m \cos(2k \theta) = \dfrac{\sin(m \theta) \cos((m+1) \theta)}{\sin(\theta)}$$ Ahora, en el paso de inducción, tenemos que \begin{align} \sum_{k=1}^{m+1} \cos(2k \theta) & = \sum_{k=1}^{m} \cos(2k \theta) + \cos(2(m+1) \theta)\\ & = \underbrace{\dfrac{\sin(m \theta) \cos((m+1) \theta)}{\sin(\theta)}}_{\text{From induction hypothesis}} + \cos(2(m+1) \theta)\\ & = \dfrac{\sin(m \theta) \cos((m+1) \theta) + \cos(2(m+1) \theta) \sin(\theta)}{\sin(\theta)} \end{align} $$\sin(\theta) \cos(2(m+1) \theta) = \dfrac{\sin((2m+3)\theta) - \sin((2m+1)\theta)}2$$ $$\sin(m \theta) \cos((m+1) \theta) = \dfrac{\sin((2m+1)\theta) - \sin(\theta)}2$$ Por lo tanto, $$\sin(\theta) \cos(2(m+1) \theta) + \sin(m\theta) \cos((m+1) \theta) = \dfrac{\sin((2m+3)\theta) - \sin(\theta)}2 = \sin((m+1)\theta) \cos((m+2) \theta)$$ $$\sum_{k=1}^{m+1} \cos(2k \theta) = \dfrac{\sin((m+1)\theta) \cos((m+2) \theta)}{\sin(\theta)}$$

Answer 2

La fórmula de la suma de una serie geométrica dice $$ \begin{align} \sum_{k=1}^ne^{i2\theta k} &=e^{i2\theta}\frac{e^{i2\theta n}-1}{e^{i2\theta}-1}\\ &=e^{i(n+1)\theta}\frac{e^{i\theta n}-e^{-i\theta n}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}\\ &=e^{i(n+1)\theta}\frac{\sin(n\theta)}{\sin(\theta)}\tag{1} \end{align} $$ Tomando la parte real de $(1)$ produce $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\cos(2\theta k) &=\frac{\cos((n+1)\theta)\sin(n\theta)}{\sin(\theta)}\\ &=\frac{\sin((2n+1)\theta)-\sin(\theta)}{2\sin(\theta)}\tag{2} \end{align} $$ Duplicar $(2)$ y añadiendo $1$ da $$ 1+2\sum_{k=1}^n\cos(2\theta k)=\frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin(\theta)}\tag{3} $$

Answer 3

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^n\cos(2\theta k)&=\operatorname{Re}\sum_{k=1}^n(e^{2i\theta})^k=\operatorname{Re}\left(\frac{e^{2i\theta(n+1)}-1}{e^{2i\theta}-1}-1\right)=\operatorname{Re}\frac{e^{2i\theta(n+1)}-e^{2i\theta}}{e^{i\theta}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}\\ &=\operatorname{Re}\frac{e^{2in\theta}-e^{i\theta}}{2i\sin\theta}=\operatorname{Re}\frac{\cos2n\theta+i\sin2n\theta-\cos\theta-i\sin\theta}{2i\sin\theta}\\ &=\operatorname{Re}\left(\frac{\sin2n\theta-\sin\theta}{2\sin\theta}+i\frac{\cos\theta-\cos2n\theta}{2\sin\theta}\right)=\frac{\sin2n\theta-\sin\theta}{2\sin\theta} \end{align*}$$ Por lo tanto, $$1+2\sum _{ k=1 }^{ n }{\cos{(2k\theta )} }=1+2\frac{\sin2n\theta-\sin\theta}{2\sin\theta}=\frac{\sin2n\theta}{\sin\theta}$$