Yo estaba jugando un poco con la central de simple álgebras sobre un campo $K$ hoy y pensé que yo debía tratar de verificar Noether-Skolem del teorema que cualquier automorphism de tal, debe ser interior. Así que, tomemos $K = \mathbb{Q}[\sqrt{5}]$, y el álgebra de cuaterniones $(1,-4)_K$, es decir,$i_1^2=1$,$j_1^2=-4$ y $i_1j_1=-j_1i_1$. Ahora, podemos ver que este es isomorfo a $M_2(K)$, la matriz de anillo, donde el isomorfismo es dada por $$j_1 \rightarrow \pmatrix{0 & -4 \\ 1 & 0},$$ $$i_1 \rightarrow \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & -1 }.$$ Llame a $\psi$ el isomorfismo $(1,-4)_K \rightarrow M_2(K)$. Ahora, podemos ver que como un álgebra de cuaterniones, $(1,-4)_K \cong (1,1)$ ( llame a los generadores de aquí para $i_2$ , $j_2$) por el isomorfismo $$i_1 \rightarrow i_2,$$ $$j_1 \rightarrow j_2(1+i_2)$$ y llamamos a este isomorfismo por $\phi$. Ahora, $(1,1)_K$ es isomorfo a $M_2(K)$ como bueno, vamos a $\sigma:(1,1)_K \rightarrow M_2(K)$ ser el isomorfismo (que es de la misma "forma" como $\psi$). Ahora, esto induce una automorphism: $\sigma \circ \phi \circ \psi^{-1}: M_2(K) \rightarrow M_2(K)$, que se lleva a $$e= \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & -1 }$$ onto itself and takes $$f= \pmatrix{0 & -4 \\ 1 & 0}$$ onto $\sigma(j(1+i))$. Ahora, no puedo conseguir que esto sea una interior automorphism! Puedo conseguir que todas las entradas debe ser cero, y esto es claramente absurdo. Así que por favor, mathstackexchange, antes de perder mi mente (que es una exageración, pero es molesto), ¿cómo puede esto ser resueltos?
Actualización (Una descripción concreta de la $\sigma(j(i+1))$
En los comentarios, me preguntó si yo podría escribir lo $\sigma(j(i+1))$ fue. He dejado fuera a propósito, ya que creo que esto podría ser donde el error se encuentra. Sin embargo, esta es la forma en que mi pensamiento va: $$\sigma(j(i+1))= \sigma(j)\sigma(i+1) = \pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0 } [ \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & -1 } + \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}].$$
Multiplicando este, llego $$\pmatrix{ 0 & 0 \\ 2 & 0 }.$$
Entonces, si asumimos que tenemos un interior automorphism: se debe tener $$\pmatrix{a & 0 \\ 0 & b } \pmatrix{0 & -4 \\ 1 & 0 } = \pmatrix{0 & 0 \\ 2 & 0} \pmatrix{a & 0 \\ 0 & b}$$
pero esto no puede mantener! Así, algunos de mis suposiciones deben estar equivocado, o algún paso, pero que realmente no puede ver que uno. Sospecho que se encuentra en el paso donde me multiplicar por una norma. Pero se debe mantener, pero tal vez mi isomorfismo no es un isomorfismo. Pero debe haber uno, y estoy bastante seguro de que es la correcta!
