Es $(a+b)^{p^n} \equiv a^{p^n}+b^{p^n} \pmod{p}$ verdad?

Question

Es $(a+b)^{p^n} \equiv a^{p^n}+b^{p^n} \pmod{p}$ verdad?

Aquí $p$ es un número primo.

Si es así, ¿cómo demostrarlo?

Sé que la afirmación es verdadera cuando $n=1$. Pero no tengo ni idea sobre el caso al $n>1$.

La pregunta que se deriva de la declaración:

Las soluciones de $x^{p^n}=x$ formas un subcampo del campo de $\Bbb{F}_{p}$.

Answer 1

Ya que usted sabe la declaración de las $n=1$, simple inducción es suficiente para el caso general: $$ (a+b)^{p^{n+1}}=((a+b)^p)^{p^n} \desbordado{{\rm caso}~n=1}\equiv(a^p+b^p)^{p^n} \desbordado{\rm I. H.}\equiv (^p)^{p^n}+b^p)^{p^n}=a^{p^{n+1}}+b^{p^{n+1}}. $$

Answer 2

Usted sabe que para $k\leq p$, $p\mid \binom{p^n}{k}$

Ahora para $k>p$ $$\binom{p^n}{k}=\binom{p^n-1}{k}+\binom{p^n-1}{k-1}=\binom{p^n-2}{k}+2\binom{p^n-2}{k-1}+\binom{p^n-2}{k-2}\\=\dots =\binom{p^n-p}{k}+\binom{p}{1}\binom{p^n-p}{k-1}+\binom{p}{2}\binom{p^n-p}{k-2}+\dots +\binom{p^n-p}{k-p}$$

$p\mid \binom{p}{j}$, $i\leq j\leq p-1$. Continuar con el proceso en $\binom{p^n-p}{k}$.

Answer 3

Una exageración, pero la Frobenius mapa de $x \mapsto x^p$ es un endomorfismo de $\mathbb{F}_p$ - esta es la declaración de $n=1$. Por tanto, su auto-composición $n$ veces también es un endomorfismo.

---

Otro exceso: por Fermat poco teorema,

$$c^{p^n} \equiv (c^p)^{p^{n-1}} \equiv (c)^{p^{n-1}} \equiv \dots \equiv c \pmod p$$

para todos los $c \in \mathbb{F}_p$, por lo tanto $(a+b)^{p^n} = a+b = a^{p^n} + b^{p^n} \pmod p$. Esto es sólo con el hecho de que el Frob es en realidad la identidad en $\mathbb{F}_p$.