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Question

Probar que si $6\mid m$ $3^a\mid\mid m,$ $3^{a-1}\mid\mid \sum_{k=1}^{m}k^m.$

($3^a\mid\mid m$$3^a\mid m$ pero $3^{a+1}\not \mid m.$)

@Ivan Loh 's respuesta a este problema resultó esto para el caso de $a=1.$

Answer 1

Deje $m=3^at$ donde $3 \nmid t$. Tenga en cuenta que

$$\sum_{k=1}^{m}{k^m}=\sum_{j=0}^{t-1}{\sum_{k=1}^{3^a}{(k+j*3^a)^m}} \equiv t\sum_{k=1}^{3^a}{k^m} \pmod{3^a}$$

Tenga en cuenta que si $3 \mid k$,$3^m \mid k^m$$m>a$$3^a \mid k^m$.

Tenga en cuenta que $\phi(3^a) \mid m$.

Así

$$\sum_{k=1}^{3^a}{k^m} \equiv \sum_{1 \leq k \leq 3^a-1 \, \text{and} \, 3 \nmid k}{k^m} \equiv \sum_{1 \leq k \leq 3^a-1 \, \text{and} \, 3 \nmid k}{1} \equiv \phi(3^a) \equiv 2*3^{a-1} \pmod{3^a}$$

Por lo tanto $\sum_{k=1}^{m}{k^m} \equiv 2t*3^{a-1} \pmod{3^a}$ hecho $3^{a-1} \|\sum_{k=1}^{m}{k^m}$.