La solución de $x^2 - 11y^2 = 3$ usando congruencias

Question

Yo estoy buscando para encontrar soluciones a $x^2 - 11y^2 = 3$ usando congruencias. La pregunta específicamente se pregunta "¿Puede esta ecuación se resuelve por la congruencias (mod 3)? Si es así, ¿cuál es la solución? (mod 4) ? (mod 11) ?"

Sé utilizar (mod 4) puedo mostrar que no hay soluciones:

$x^2 - 11y^2 \equiv 3 (mod 4)$

$x^2 - 11y^2 \equiv -1 (mod 4)$

Este es irresoluble porque el hecho de que el 11 es un número primo, y es congruente a 3 mod 4, y así se seguiría que no hay soluciones. Por lo tanto sé que la ecuación general es irresoluble.

Tengo curiosidad porque la parte de atrás del libro, dijo que este resultado también podría ser visto (mod 3), pero no puedo obtener el mismo resultado:

$x^2 - 11y^2 \equiv 3 (mod 3)$

$x^2 - 11y^2 \equiv 0 (mod 3)$

Por lo que x e y pueden ser congruente a 0 mod 3 para resolverlo. Alguien me puede ayudar a entender por qué esta ecuación se puede probar sin solución mod 3?

Answer 1

$$-11 \equiv -11+16 \equiv 5 \equiv 1 \pmod 4$$

Así,la congruencia se convierte en:

$$x^2+y^2 \equiv 3 \pmod 4$$

$$x \equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow x^2 \equiv 0 \pmod 4$$

$$x \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod 4$$

$$x \equiv 2 \pmod 4 \Rightarrow x^2 \equiv 0\pmod 4$$

$$x \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod 4$$

$$$$

$$y \equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow y^2 \equiv 0 \pmod 4$$

$$y \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow y^2 \equiv 1 \pmod 4$$

$$y \equiv 2 \pmod 4 \Rightarrow y^2 \equiv 0\pmod 4$$

$$y \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow y^2 \equiv 1 \pmod 4$$

Podemos ver que a no ser $x^2+y^2 \equiv 3 \pmod 4$

EDITAR:

$$-11 \equiv 1 \pmod 3$$

Así,la congruencia se convierte en:

$$x^2+y^2 \equiv 0 \pmod 3$$

$$x \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 0 \pmod 3$$

$$x \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod 3$$

$$x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow x^2 \equiv 1 \pmod 3$$

$$$$

$$y \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow y^2 \equiv 0 \pmod 3$$

$$y \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow y^2 \equiv 1 \pmod 3$$

$$y \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow y^2 \equiv 1 \pmod 3$$

Podemos ver que $x^2+y^2 \equiv 0 \pmod 3$,sólo si $x \equiv 0 \pmod 3 \text{ AND } y \equiv 0 \pmod 3$

Answer 2

El punto es que no es irresoluble mod $3$, pero que cada solución modulo $3$ debe satisfacer $x\equiv y\equiv0\pmod3$.
En efecto, como $-11\equiv1\pmod3$ tenemos $x^2+y^2\equiv0\pmod3$. Algunos casos de cheques aprende que las plazas son sólo congruentes a $0$ o $1$ $\pmod3$ (y esto es digno de ser recordado!), por lo $x^2+y^2\equiv0$ implica $x^2\equiv y^2\equiv0$.

Ahora aquí viene la contradicción: si $3\mid x,y$, $9\mid x^2,y^2$ y, por tanto,$9\mid x^2-11y^2=3$.