La integridad de la $\mathbb{R}$: definiciones equivalentes.

Question

Estoy buscando una referencia para establecer la equivalencia entre las menos-límite superior de la propiedad y la de Bolzano–Weierstrass teorema.

Como consecuencia de la menor--límite superior de la propiedad, se puede demostrar que cada delimitada monótona secuencia de los números reales converge. Ya que cada secuencia de números reales tiene una monótona y larga, tenemos la de Bolzano–Weierstrass teorema.

Donde puedo encontrar una prueba de lo contrario?

Gracias.

Answer 1

Podemos tratar de demostrar a nosotros mismos...

Supongamos $S\subset \mathbb R$ tiene un límite superior. Escoge un límite superior $a_1$, de modo que hay algo de $s\in S$ tal que $|a_i-s| < 1$.

Sabemos que podemos hacer esto porque de ser incapaz de escoger un $a_1$ significa que $\{x : |a-x|<1\}\cap S = \emptyset$ para todos los límites superior $a$. Pero el de arquímedes propiedad de $\mathbb{R}$, a continuación, las fuerzas de $S=\emptyset$, ya que podría continuar para sustituir a$a$$a-\frac{1}{2}$.

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EDIT: tenga en cuenta que esto no es no es circular, ya que estamos suponiendo Bolzano-Weierstrass, con la cual es fácil de demostrar la propiedad de arquímedes. Ver los comentarios.

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Dado que este no es un menos de límite superior, no es otra cota superior de a$a_2 <a_1$, de modo que hay algo de $s \in S$ tal que $|a_2-s|<\frac{1}{2}$.

Que vamos a obtener estrictamente a la disminución de la secuencia $a_1>a_2> a_3>\ldots$ de los límites superiores de $S$ tal que para cada una de las $n$ hay algo de $s\in S$ tal que $|a_n-s|< \frac{1}{n}$. El mismo argumento anterior garantiza que dicha secuencia existe.

Bolzano-Weierstrass nos dice que esta secuencia tiene un convergentes subsequence $\{b_n\}\subset \{a_n\}$.

Set $b = \lim_{n\to \infty} b_n$. La construcción de nuestra secuencia deja en claro que para cualquier $n>0$, hay algunos $s\in S$ tales que $b < s +\frac{1}{n}$. Thus, $b$ es un mínimo de límite superior.