¿Cuál es la configuración (conjunto de ubicaciones) de $n$ puntos en la superficie de una esfera tal que la suma de distancias es máxima para $n=1,2,3,...?
La suma de distancias se mide sumando las longitudes de cada línea recta (a través de la esfera) que conecta cada combinación posible de $2$ puntos. Todos los puntos están en una sola esfera de radio $R$.
Aquí hay una visualización: 
Agradecimientos: Basado en esta pregunta de Physics S.E. Imagen de StackOverflow.
Hasta donde yo sé, la respuesta a la pregunta general es desconocida. Para el enfoque informático puedes consultar este artículo de Berman y Hanes. Aquí se muestra que el resultado para 5 puntos en la esfera se puede encontrar en tiempo finito mediante computadora. También puedes encontrar algunas referencias interesantes en la parte de introducción.
Espero que esto sea de ayuda
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Creo que las longitudes se sumarán para ser máximo
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La distancia media entre 2 puntos dentro de una esfera math.stackexchange.com/questions/167932/… podría ayudar.
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Parece que recuerdo haber escuchado que el problema de maximizar el mínimo está sin resolver. Pero maximizar la suma es otro asunto.
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Un montón de preguntas anteriores están estrechamente relacionadas. Ninguna es una duplicada exacta de ésta, pero es posible que encuentres interesantes las respuestas y referencias allí.
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"¿Línea recta"? ¿A través de la esfera o en la superficie?
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Línea recta a través de la esfera.
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¿Estás buscando una expresión analítica de la configuración o una solución numérica? Este es un problema de optimización no convexo y sospecho que tiene varias soluciones locales que no son maximizadores globales.
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Analítico, solo quiero comprender los pasos involucrados en resolver el problema
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Es posible que puedas encontrar una expresión analítica si mides la distancia geodésica (en la superficie de la esfera) y utilizas coordenadas esféricas. Esta es solo una sugerencia que podría ayudarte a avanzar en la pregunta más difícil que planteas.