¿Conexión con la proporción áurea?

Question

Considere el siguiente problema:

Sea $p\in\mathbb{Z}[x]$ sea un polinomio con coeficiente entero. Supongamos que el coeficiente principal es 1, todas las raíces son reales y en $(0, 3)$ . Encontrar todas las raíces posibles de $p$ .

Las raíces 1 y 2 son abvious, pero hay más raíces posibles: las raíces de $x^2-3x+1$ , $$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\quad\text{ and }\quad\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$$

Otras posibles raíces que no he encontrado, pero lo que es interesante (al menos para mí) Observo que las raíces no enteras anteriores tienen la forma $$\frac{3+\sqrt{5}}{2} = 1+\phi\quad\quad\frac{3-\sqrt{5}}{2} = 2-\phi,$$ donde $$\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$$ es la constante de la proporción áurea.

1. Es el conjunto de todas las raíces posibles $\{1, 1+\phi, 2-\phi, 2\}$ ?
2. (si la respuesta de la pregunta 1 es positiva) ¿Por qué aparece la constante de proporción áurea en este problema?

Answer 1

Esta respuesta es sólo para el grado $2$ .

Sólo hay cuatro pares $(a,b)=(-2,1),(-3,1),(-3,2),(-4,4).$ (Tal vez desee eliminar $(-2,1),(-4,4)$ )

Si $x^2+ax+b=0\ (a,b\in\mathbb Z)$ entonces tenemos $$0\lt \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}\lt 3,\ \ 0\lt\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\lt 3$$ $$\iff 0\lt -a-\sqrt{a^2-4b}\lt 6,\ \ 0\lt -a+\sqrt{a^2-4b}\lt 6\tag1$$ Puesto que tenemos $0\lt -2a\lt 12\iff -6\lt a\lt 0$ , $$(1)\iff a\lt -\sqrt{a^2-4b}\lt a+6,\ \ a\lt\sqrt{a^2-4b}\lt a+6$$ $$\iff a\lt -\sqrt{a^2-4b},\ \ \sqrt{a^2-4b}\lt a+6$$ $$\iff -a\gt \sqrt{a^2-4b},\ \ \sqrt{a^2-4b}\lt a+6$$ $$\iff (-a)^2\gt a^2-4b,\ \ a^2-4b\lt (a+6)^2\iff b\gt 0,\ \ b\gt -3a-9.$$

Con $a^2-4b\ge 0$ tenemos $$-6\lt a\lt 0,\ \ b\gt 0,\ \ b\gt -3a-9,\ \ b\le \frac{a^2}{4}.$$

Teniendo en cuenta estas condiciones sobre $ab$ avión le dará todos los pares posibles $(a,b)$ que son los siguientes :

$$(a,b)=(-2,1),(-3,1),(-3,2),(-4,4)$$

Answer 2

Polya demostró que cualquier intervalo de longitud inferior a 4 contiene sólo finitamente muchos conjuntos de enteros algebraicos conjugados (en el lenguaje de la pregunta original, sólo finitamente muchos polinomios con coeficientes enteros, coeficiente principal 1, todas las raíces reales y en cualquier intervalo dado de longitud inferior a 4). No estoy seguro de dónde lo demostró Polya. Podría ser en su artículo Ueber Ganzwertige Ganze Funktionen, Rend Circ Mat Palermo 40 (1915) 1-16.

Raphael M Robinson, Algebraic equations with span less than 4, Math Comp 18 (1964) 547-559, MR 0169374, 29 #6624 (creo que el artículo está disponible gratuitamente en la página web de la American Math Society) encontró todos los polinomios irreducibles de grado entre 2 y 6, coeficientes enteros, coeficiente principal 1, todas las raíces reales, raíz mayor menos la menor ("span") menor que 4, y también varios polinomios de este tipo de grados 7 y 8.

Más tarde, Capparelli et al demostraron que la lista de Robinson era completa hasta el grado 8.

Los únicos con span inferior a 3 fueron los que OP encontró con $\sqrt5$ y el polinomio $x^2-2$ . Pero no hay manera de traducir $x^2-2$ por lo que sus raíces están entre $0$ et $3$ y permanecen enteros algebraicos.

Los de mayor grado tienen todos span cercano a 4, por lo que estoy convencido de que OP ha encontrado todos los que tienen raíces entre $0$ et $3$ aunque no he podido encontrar un documento que diga exactamente eso.

Podría valer la pena echar un vistazo a Capparelli et al, On the span of polynomials with integer coefficients, Math Comp 79 (2010) #270 967-981, MR 2600551, 2011b:12001, donde los cálculos de Robinson se extienden al grado 14, sólo para ver si da alguna historia, o cita a Polya, o menciona el span 3.