Dada una transformación lineal, $T:U\rightarrow V$ , se me pide que muestran que la dimensión de la gama de $T$ es el mismo que el de codimension el núcleo de $T$. Me han dicho que $U$ no es necesariamente finito dimensional espacio vectorial por lo que no puedo asumir que la dimensión de la teoría. Como cuestión de hecho, yo no sé nada acerca de codimensions y por eso no tengo idea de cómo ir sobre esta cuestión. Necesito un poco de ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una prueba de dibujo. El codimension de $\ker T$ es sólo la dimensión del espacio cociente $U / \ker T$, por lo que en el fin de demostrar que el reclamo, es suficiente para mostrar que $\newcommand{\range}{\mathop{\operatorname{range}}}$ $U / \ker T \cong \range T$. Para este fin, intentar demostrar una explícita isomorfismo $S : U/\ker T \to \range T$.
Sugerencia. Cualquier elemento de $U/\ker T$ es un coset de la forma $x + \ker T$ algunos $x \in U$. ¿Ve usted una forma natural para definir $S(x + \ker T)$? Una vez que defina $S$, para completar la prueba, usted tendrá que demostrar que el mapa de $S$ es
- bien definido (Lo que hace bien definidos significa en este contexto?),
- lineal,
- bijective (es decir, surjective y inyectiva).
ChuckO
Puntos
774
Sugerencia: Utilice el teorema de isomorfismo. La primera isomorphim teorema establece que: Si usted tiene un $T:U\longrightarrow V$ es una transformación lineal, a continuación,$U/\ker T\cong im T$. Pero el codimension del núcleo es la dimensión de la $U/ \ker T$ & 'causa $U/\ker T\cong im T$, $U/ \ker T$ tienen la misma dimensión de la gama de $T$.
