Se trata de otra versión de la función gamma?

Question

Sé que $\Gamma \left( x \right) $ es la única función en $x \in (0, \infty)$ tal que

$f \left( 1 \right) =1$

$f(x+1)=xf(x)$

${\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}ln(f \left( x \right))>0$

Sin embargo, definir el conjunto de funciones de $g(x)=\Gamma(x){e^{2\pi inx}}\:for\:n\in \Bbb Z$$i=\sqrt{-1}$, luego

$g(1)=\Gamma(1)e^{2\pi in}=1$

$g(x+1)=\Gamma(x+1){e^{2\pi in(x+1)}}=x\Gamma(x){e^{2\pi inx}}{e^{2\pi in}}=x\Gamma(x){e^{2\pi inx}}=xg(x)$

${\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}ln(g \left( x \right))={\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}(ln(\Gamma(x))+2\pi i n x)={\frac {d^2}{dx^2}}ln(\Gamma(x))>0$

por lo tanto,$g(x)=\Gamma(x)$$x\in(0,\infty)$. Sin embargo, esta no es, obviamente, es cierto, pero que satisface todas las condiciones de la Bohr-Mollerup teorema. ¿Por qué es esto? Es esto alguna otra versión de la función Gamma?

Si alguien curioso, tengo esta idea de este post

Answer 1

El muy anticlimactic respuesta aquí es, que la Bohr-Mollerup-Teorema sólo incluye el valor real de las funciones, consulte aquí por ejemplo. De lo contrario, el general de valores complejos de funciones, también tendría problemas para evaluar la condición de $\frac{d^2}{dx^2}\ln f(x)>0$.