mostrar una matriz es diagonalizable

Question

Digamos que tengo un $A_{n\times n}$ . También sé que cada vector propio de a $A$ también es vector propio de a $A^*$ la Conjugada transpuesta de la matriz

Según mi entender, parece que $A$ debe ser diagonalizable. pero tengo problemas para mostrar.

Answer 1

Deje $v$ ser un autovector de a $A$ correspondiente al autovalor $\lambda \in \mathbb{C}$. A continuación, $Av = \lambda v$ y, mediante la aplicación de conjugar tranpose, $v^{*}A^{*} = \overline{\lambda} v^{*}$. Desde $v$ es un autovector de a$A^{*}$, $A^{*}v = \mu v$ algunos $\mu \in \mathbb{C}$ y

$$ \mu ||v||^2 = \mu (v^{*} \cdot v) = v^{*} \cdot (\mu v) = v^{*} \cdot (A^{*} v) = (v^{*} A^{*}) \cdot v = \overline{\lambda}(v^{*} \cdot v) = \overline{\lambda} ||v||^2 $$

por lo $\mu = \overline{\lambda}$. Es decir, $v$ es un autovector de a $A^{*}$ correspondiente al autovalor $\overline{\lambda}$.

Para mostrar que $A$ es diagonalizable, imitar la prueba de que una normal de la matriz es ortogonalmente diagonalizable. Es decir, recoger algunas autovector $v$$A$, vamos a $U := \mathrm{span} \{ v \}$, muestran que $U^{\perp}$ $A$ $A^{*}$ invariante y argumentar de forma inductiva.

De hecho, si $A$ es normal en la matriz, un típico paso de la prueba muestra que si $v$ es un autovector de a $A$ asociado al autovalor $\lambda$ $v$ también es un autovector de a $A^{*}$ asociado al autovalor $\overline{\lambda}$, por lo que su condición es equivalente a la necesidad de que $A$ es normal, o, alternativamente, ortogonalmente diagonalizable.