Consideremos el anillo de $R=ℂ[X,Y]$ y el ideal de $I=(X^2-Y,X^2+Y)$. Nos encontramos (??) que $R/I ≅ℂ[X]/(X^2)$.

Question

Estoy tratando de comprender un paso en un ejemplo de mi lector acerca de los anillos.

Consideremos el anillo de $R=ℂ[X,Y]$ y el ideal de $I=(X^2-Y,X^2+Y)$. Nos encontramos que $R/I ≅ℂ[X]/(X^2)$.

Como el autor no da más detalles de este paso, creo que el autor piensa que este paso es obvio. Sin embargo, aún no es obvio para mí.

Yo no sé los siguientes hechos:

$$ℂ[X,Y] = (ℂ[X])[Y]$$ and $$R[X]/(X-a) ≅ R$$ where $un \R$ and $R$ un anillo conmutativo con la marca.

He estado tratando durante algún tiempo, pero sin éxito. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Usted puede tratar los polinomios en su ideal como ecuaciones de elementos de identificación de $R$ el uno con el otro. Por lo tanto $X^2 = Y$$X^2 = -Y$. Esto significa que usted puede dejar fuera a $Y$, sustituyendo con $X^2$, lo que a su vez es igual a cero.

Answer 2

Trate de usar el tercer teorema de isomorfismo:$$\mathbb C[X,Y]/I≅ \mathbb C[X,Y]/(X^2-Y)/(X^2-Y,X^2+Y)/(X^2-Y)$$$$≅\mathbb C[X]/(X^2).$$