Determinar el límite de

Question

Iv'e estado luchando con esto un poco demasiado largo:

$$ a_n = \lim_{n \to \infty} n^\frac{2}{3}\cdot ( \sqrt{n-1} + \sqrt{n+1} -2\sqrt{n} )$$

Lo iv'e probado hasta ahora estaba usando el hecho de que el interior de la expresión es equivalente a:

$$ a_n = \lim_{n \to \infty} n^\frac{2}{3}\cdot ( \sqrt{n-1}-\sqrt{n} + \sqrt{n+1} -\sqrt{n} ) $$

Entonces traté de multiplicar cada uno de la expresión por su conjugado y tengo:

$$ a_n = \lim_{n \to \infty} n^\frac{2}{3}\cdot ( \frac{1}{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n-1} +\sqrt{n}} ) $$

Pero ahora estoy en un callejón sin salida. Desde que tengo esta annyoing $n^\frac{2}{3}$ fuera de los soportes, cada uno de mis intentos para finalizar este, termina con el indefinido expresión de $(\infty\cdot0)$

He pensado acerca de cómo utilizar el teorema del encaje de alguna forma, pero no logró conectar los puntos a la derecha.

Gracias.

Answer 1

Seguir adelante... la diferencia entre las fracciones es

$$\frac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})}$$

que, por razonamiento similar como antes (diff entre dos plazas...), produce

$$\frac{-2}{(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})}$$

Ahora, como $n \to \infty$, el denominador se comporta como $(2 \sqrt{n})^3 = 8 n^{3/2}$. Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} (-1/4) n^{-3/2} n^{2/3} = \cdots$? (Es el OP de seguro (s)no se refiere a la $n^{3/2}$ en el numerador?)

Answer 2

Considere la función correspondiente: si se tiene un límite en $\infty$, será el mismo que para la secuencia. Para el límite de la función, podemos hacer una sustitución de $x=1/t$, por lo que tenemos que calcular \begin{align} \lim_{t\to0^+} \frac{1}{t^{2/3}}\frac{\sqrt{1-t}+\sqrt{1+t}-2}{\sqrt{t}} &= \lim_{t\to0^+}\frac{1-t/2-t^2/8+o(t^2)+1+t/2-t^2/8+o(t^2)-2}{t^{7/6}} \\ &=\lim_{t\to0^+}\frac{-t^2/4+o(t^2)}{t^{7/6}}=0 \end{align}

Si el exponente en el primer factor es $3/2$, en lugar de $2/3$, el denominador sería $t^2$ y el límite sería $-1/4$.

Answer 3

Yo pensaba que iba a presentar una forma que es diferente desde el enfoque utilizado en la OP. Tomamos nota de que del Valor medio Teorema, existe un número $\xi\in (x,x+1)$ y un número de $\eta \in (x-1,x)$ tal que

$$f(x+1)-f(x)-f'(x)=\frac12 f''(\xi) \tag 1$$

y

$$f(x-1)-f(x)+f'(x)=\frac12 f''(\eta) \tag 2$$

La adición de $(1)$ $(2)$ rendimientos

$$f(x+1)-2f(x)+f(x-1)=\frac12\left(f''(\xi)+f''(\eta)\right) \tag 3$$

Ahora, dejando $f(x)=\sqrt{x}$ $(3)$ revela que

$$\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=-\frac18\left(\xi^{-3/2}+\eta^{-3/2}\right)$$

Por lo tanto, tenemos

$$n^{2/3}\left(\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)=-\frac18 n^{2/3}\left(\xi^{-3/2}+\eta^{-3/2}\right)$$

desde $n-1<\eta<n<\xi<n+1$. Tomando el límite cuando $n\to \infty$ vemos que el límite de interés es $0$