Matrices unitarias y el adjunto hermitiano

Question

Vi en una definición para matrices unitarias, que para que una matriz compleja sea unitaria si $M: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$ es unitaria, o:

$\langle Mv, Mw \rangle = \langle v,w \rangle$ $\forall v,w \in \mathbb{C}^{n}$

Entonces, una definición equivalente era que $M$ es unitaria si y sólo si $MM^{*}=\mathrm{Id}$ . La prueba que vi fue la siguiente (puede tomar la base estándar ya que el producto interno es lineal):

$\langle Me_{i}, Me_{j} \rangle = \langle e_{i},e_{j} \rangle = \delta_{ij}$

Desde $Me_{i}$ es el $i$ -en la columna de $M$ se deduce que $\langle Me_{i}, Me_{j} \rangle = \langle M^{*}Me_{i}, e_{j} \rangle$ es el $ij$ -a entrada de $M^{*}M$ . Sin embargo, el punto que no entiendo es por qué este producto interno nos da tal $ij$ -de la matriz. ¿Suponemos que este producto interno es el producto interno estándar sobre $\mathbb{C}^{n}$ ? ¿O cuál sería la definición más precisa de una matriz unitaria que justifique este paso?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El producto interior que está considerando está definido por $$ \langle v,w\rangle=v^*w $$ (o $w^*v$ Pero es irrelevante, haga los cambios necesarios si este es el caso).

Supongamos que $\langle Mv,Mw\rangle=\langle v,w\rangle$ por cada $v,w$ . Esto significa que $$ (Mv)^*(Mw)=v^*w $$ o $$ v^*(M^*Mw)=v^*w $$ así que $$ v^*(M^*Mw-w)=0 $$ Dado que esto es válido para cada $v$ tenemos que $M^*Mw-w=0$ por cada $w$ y esto es lo mismo que $(M^*M-I)w=0$ Así que $M^*M-I$ es la matriz cero.

Por el contrario, si $M^*M=I$ tenemos claramente $$ \langle Mv,Mw\rangle=(Mv)^*(Mw)=v^*(M^*M)w=v^*w=\langle v,w\rangle $$

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Siempre que lo hagas $\langle Ae_i,e_j\rangle$ donde $A$ es una matriz hermitiana, estás haciendo $e_iAe_j$ : ahora $Ae_j$ es el $j$ -en la columna de $A$ y multiplicando por $e_i$ produce el coeficiente en el $i$ -Cuarta fila. Por lo tanto, obtenemos el $(i,j)$ coeficiente de $A$ .

Por último, hay que tener en cuenta que $M^*M$ es hermitiana.

Answer 2

Si entiendo bien tu pregunta tu duda básica surge al convertir un operador lineal dado en notación dirac a su notación matricial con respecto a alguna base. Sea $A$ sea un operador lineal $A:V \to W$ y dejemos que la base ortonormal para los espacios hilbert $V$ y $W$ sea respectivamente $\{v_1,v_2..v_m\}$ y $\{w_1,w_2..w_n\}$ respectivamente, el operador puede definirse como $$A|v_i\rangle = \sum_i A_{ij}|w_i\rangle......(1)$$ aquí $A_{ij}$ son las entradas de la representación matricial de $A$ en base a las entradas y salidas $\{v\}$ y $\{w\}$ respectivamente. ¿Por qué es así? Puedes ver una explicación detallada aquí Representación matricial de los operadores lineales en algunas bases o pruébalo tú mismo.

Ahora según la relación de completitud si tengo un espacio hilbert $V$ con una base ortonormal $\{i\}$ entonces $\sum |i \rangle \langle i|=I_v$ ( operador de identidad para el espacio de Hilbert $V$ ). Así que utilizando la definición de operador lineal y la relación de completitud se puede escribir $$A=\sum_{ij} \langle w_j|A|v_i\rangle |w_j\rangle \langle v_i|......(2)$$ Finalmente comparando ( comparando $(1)$ y $(2)$ ) con la notación anterior es fácil ver que $A_{ji}=\langle w_j|A|v_i\rangle$ . Volviendo a su ejemplo, si sustituimos $w_j$ por $e_i$ y $v_i$ por $e_j$ obtenemos $A_{ij}=\langle e_i|A|e_j\rangle$ ( y en su caso $A=MM^*$ ). Espero haber respondido a su pregunta.