¿Todo espacio homogéneo de Hausdorff es también regular?

Question

Todo grupo topológico de Hausdorff es regular (completamente regular, de hecho). ¿Es esto cierto si sustituyo grupo topológico con espacio homogéneo ?

Esto no me parece obvio porque hay espacios homogéneos de Hausdorff que no son grupos topológicos, como por ejemplo $S^2$ . Además, hay $T_1$ espacios que son homogéneos pero no regulares, tales como $\omega$ con la topología cofinita.

Answer 1

Un ejemplo de espacio homogéneo de Hausdorff que no es regular se obtiene dando $\mathbb R$ la topología en la que los conjuntos abiertos son los de la forma $U \setminus A$ donde $U \subseteq \mathbb R$ es abierto en la topología métrica/de orden habitual, y $A \subseteq \mathbb R$ es contable.

• Es Hausdorff ya que la topología es más fina que la topología habitual, que a su vez es Hausdorff.
• Cualquier autohomeomorfismo de la topología habitual sobre $\mathbb R$ es también un autohomeomorfismo de este espacio, por lo que la homogeneidad de la topología habitual implica la homogeneidad de este espacio.
• No es regular porque $U = (-1,1) \setminus \{ \frac 1n : n \geq 1 \}$ es una vecindad abierta de $0$ pero no hay vecindario $V$ de $0$ con $\overline V \subseteq U$ .