las combinaciones ayudan, 18 cajas, 42 canicas, cada caja puede contener 6 canicas. ¿cuántas combinaciones?

Question

Estoy trabajando en un algoritmo de programación para los profesores que toman clases, y estoy trabajando en posibles tiempos de ejecución. He simplificado el problema hasta esta analogía

Si tuviera 18 cajas y 42 canicas. Cada caja podría contener de 0 a 42 canicas. La cantidad de combinaciones sería $42^{18} = 165381614442044595841154678784 = 1.653816144 \times 10^{29}$ ¿verdad?

Sin embargo, mi problema es que tengo 18 cajas y 42 canicas que cada caja puede contener de 0 a 6 canicas, ¿cómo calculo cuántas combinaciones?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa pero creo que estoy en el camino correcto.

Deje que $x_1, x_2, ..., x_{18}$ sea el número de canicas en cada caja. Sabemos $x_1+ x_2+ ...+ x_{18}=42 \hspace {5pt}where \hspace {5pt} 0 \leq x_n \leq 6$

El número de combinaciones para una solución de la ecuación anterior será:

$ {{42} \choose {x_1}}{{42-x_1} \choose {x_2}}{{42-x_1-x_2} \choose {x_3}}...{{42-x_1-x_2-...-x_{17}} \choose {x_{18}}}$

Desde aquí no estoy seguro de cómo resolverlo analíticamente. Necesitas sumar todas las combinaciones posibles de $x_n$ que hacen que la primera ecuación sea verdadera. Si sabes cómo codificar, podrías hacerlo por fuerza bruta.

Puede que haya una solución mejor que me falta. ¡Esperemos que alguien la encuentre!