Probando el Thompson de Transferencia de Lema

Question

Deje $G$ ser un grupo finito de orden $n=2^kr$, $T$ un Sylow-$2$ subgrupo de $G$, e $M$ un índice $2$ subgrupo de $T$. Quiero demostrar que si $G$ no tiene ningún subgrupo de índice $2$, entonces cada elemento de a $x$ orden $2$ es conjugado a un elemento de $M$.

El uso de la transferencia homomorphism, tengo que $$Ver(x)=\prod g^{-1}xg \mod T'$$ is an element of $T/T'$, where the product is taken over representatives of the left cosets of $T$ that are fixed under left multiplication by $x$. Now, I want to show that if $G$ has no subgroup of index $2$, then this product is in fact in $M$, which would allow me to conclude that one of the factors is in $M$, since $x$ corrige un número impar de cosets y por lo tanto el producto tiene un número impar de términos. Pero no estoy seguro de cómo mostrar este.

Sé que si $G$ no tiene un índice $2$ subgrupo, entonces todas las permutaciones de su izquierda regular la representación son incluso. Ya en el LRR, un elemento de orden $m$ consistirá en $\dfrac{n}{m}$ $m$-ciclos, todas las permutaciones de ser incluso implica que no hay ningún elemento de orden $2^k$, lo que significa que $T$ no es cíclico. Pero no veo cómo utilizar esta información para concluir que el $Ver(x)\in M/T'$.

Answer 1

Thompson transferencia lema dice cosas importantes acerca de la transferencia, pero en realidad la técnica es más similar a la de Cayley $2$-nilpotent criterio aludido en su último párrafo.

Principal sugerencia, aquí es cómo utilizar los puntos fijos como en Cayley del teorema:

Considere la posibilidad de la acción de la $G$ en los cosets $\{ Mg : g \in G \}$$M$. Para un elemento $t$ $G$ tenemos $(Mg)t = M(gt)$, por definición. Si $t$ tiene un punto fijo, a continuación,$(Mg)t = M(gt) = Mg$, lo $gtg^{-1} \in M$ $t$ tiene un conjugado en $M$. Por el contrario, si $gtg^{-1} \in M$, $(Mg)t = Mg$ es un punto fijo de $t$.

Aquí es la detallada conclusión (básicamente una repetición de Cayley del argumento):

Ahora la hipótesis de que la $M$ es un subgrupo maximal de a $T$, un Sylow 2-subgrupo de $G$ nos dice que $[G:M]=4k+2$ para un entero no negativo,$k$. Si $t$ es un elemento de orden $2$, entonces la acción de la $t$ en los cosets de $M$ es el producto de algunas transposiciones. Si $t$ no tiene puntos fijos (equivalentemente, si $t$ no es conjugado a un elemento de $M$), entonces es el producto de $[G:M]/2 = 2k+1$ transposiciones, por lo que es una permutación impar. Por lo tanto $t$ no está incluido en la pre-imagen de $N$ de la alternancia de los subgrupos de $\operatorname{Sym}(G/M)$. Por lo tanto $1 \neq [G:N] \leq [\operatorname{Sym}(G/M):\operatorname{Alt}(G/M)]=2$, dejando sólo a $[G:N]=2$ como una posibilidad.

Esto significa que el $t$ no es un elemento del núcleo de la transferencia de $G$ a $T$ (por los coordinadores de los subgrupos lema), de ahí el nombre, pero la transferencia real del mapa no es utilizado en la comprobación de que $N$ existe (y $t \notin N$).

A veces los detalles de $N$ puede ser descartado para obtener la más simple declaración: si $M$ es la máxima subgrupo de Sylow 2-subgrupo de $G$, e $t$ es un elemento de orden 2 que figura en ningún conjugado de $M$, $t$ no está contenido en $O^2(G)$ (o incluso $E^2(G) \geq A^2(G) \geq O^2(G)$ si usted está en los subgrupos, el menor subgrupo normal con primaria abelian $2$-grupo abelian $2$-grupo o, simplemente, $2$- grupo de cocientes).