El Abel y Caín Urna Problema

Question

Una urna contiene tres tipos distinguibles de bolas, decir $A,B,C$.

Abel apuestas para obtener, en $t$ ensayos con la sustitución, al menos, una pelota de tipo $A$ y al menos una bola de tipo $B$.

Caín apuestas para obtener, en $t$ ensayos con reemplazo, exactamente $t$ bolas de tipo $C$.

Queremos Abel y Caín a tener la misma oportunidad de ganar.

Mi solución es: No importa el número de bolas de cada clase en la urna, si Caín y Abel tienen la misma oportunidad de ganar en el final del juego, entonces debe de ser $t=2$.

Mi razonamiento es: Abel puede ganar en cualquier juicio entre el$2$$t$, mientras que Caín, posiblemente, puede ganar sólo al final del juego. Ya hemos pedido que en el final de el juego de Caín y Abel deben tener la misma oportunidad de ganar, luego de la última prueba debe representar el único éxito posible también para Abel, y esto implica $t=2$.

Es este razonamiento correcto?

Una pregunta, que podría ser un poco ingenuo (o incluso tonto), así que por favor, disculpe a mi en ese caso:

¿Cómo podemos tomar en cuenta (por ejemplo, en términos de la probabilidad condicional) el hecho de que Caín ya sabe que Abel no puede ganar en el primer juicio y que Abel ya se sabe que Caín no puede ganar en cualquier juicio de una parte de la última?

EDIT: me fije este esquema para explicar el razonamiento (véanse también los comentarios para más detalles).

Aquí interpretamos cada ensayo como un tiro. Y la probabilidad de obtener un éxito para Abel en cada ensayo, $k$ como un objetivo de una determinada área (objetivos ecológicos, la parte superior del esquema). El área de la $Ab_k$ objetivos aumenta a medida $k$ aumenta, y la zona de destino en la correspondencia de la $t$$Ab_t=p$. Para Caín, sólo hay un objetivo (azul, blanco, parte inferior del esquema), la última de ellas, ya que no puede ganar en el medio del juego. El área de su último objetivo es $Ca_t=q$.

La petición es que $p=q$, en correspondencia de la última prueba. Ahora, Abel puede golpear un objetivo (y por lo tanto ganar el juego) en cualquier prueba (parte de la primera). Así que si el último tiene la misma área de Caín y Abel, no debe ser sólo un destino, de lo contrario Abel tiene más oportunidad de ganar.

Answer 1

No entiendo tu razonamiento, y creo que no es correcto.

Si estoy equivocado en esto, entonces parece que has encontrado una buena manera de demostrar el último teorema de Fermat.

Eso sería maravilloso, por supuesto, pero no tengo mucha esperanza.

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Deje $a,b,c$ denotar el número de bolas de tipo $A$, $B$, $C$ respectivamente.

Deje $A$ denotar el caso de que después de $t$ ensayos al menos una de las bolas serán de tipo $A$.

Deje $B$ denotar el caso de que después de $t$ ensayos al menos una de las bolas serán de tipo $B$.

Deje $Ab$ denotar el caso de que Abel gana.

Deje $Ca$ denotar el caso de que Caín gana.

Entonces: $$P(Ab)=1-P(A^{\complement}\cup B^{\complement})=1-P(A^{\complement})-P(B^{\complement})+P(A^{\complement}\cap B^{\complement})=$$$$1-\left(\frac{b+c}{a+b+c}\right)^t-\left(\frac{a+c}{a+b+c}\right)^t+P(Ca)$$

Así

$$P(Ab)=P(Ca)\iff(b+c)^t+(a+c)^t=(a+b+c)^t$$

Answer 2

Si se reemplaza la urna con un proceso mágico que devuelve una bola de $A$ o una bola de $B$ con una probabilidad de $a=b=1 - 2^{-1/3}$ cada uno y un balón $C$ con una probabilidad de $c=-1 + 2^{2/3}$, entonces usted puede copiar y pegar su razonamiento sin ningún cambio. En ningún punto de su razonamiento hacer uso del hecho de que $a,b,c$ debían ser racionales.

Sin embargo, con $t=3$ la probabilidad de que Abel gana es $1-(b+c)^3-(a+c)^3+c^3 = 1 - 1/2 - 1/2+c^3 = c^3$, que es también la probabilidad de que Caín gana.

Desde su razonamiento demuestra algo falso, no es válido.