$\operatorname{Hom}_R(R/fR,X)$ es un functor exacto

Question

En el artículo "Inyectiva dimensión en Noetherian anillos", dijo Bass (sin pruebas) que: Deje $R$ ser un Noetherian anillo (no creo que este supuesto es necesario aquí), $f$ $R$- regular, $X$ es una secuencia exacta tal que $fX=X$. A continuación, $\operatorname{Hom}_R(R/fR,X)$ es una secuencia exacta.

Me puse a $ B \xrightarrow{g} C \to 0$ como una secuencia exacta tal que $fB=B$$fC=C$, entonces trato de demostrar que $\operatorname{Hom}_R(R/fR,-)$ preserva la exactitud. Deje $h \in \operatorname{Hom}(R/fR,C)$ $h(1)=g(b)$ algunos $b\in B$. Entonces me puse a $z \colon R/fR\to B$ tal que $z(1)=b$.

Creo que es suficiente para mostrar que $fb=0$, pero esto es donde estoy atascado.

Estoy en el camino correcto? ¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Si $f$ es regular, entonces para cualquier módulo de $\operatorname{Ext}^1(R/Rf,M) = M/fM$. Esto significa que la secuencia es exacta, por los ARCHIVOS de Ext tan pronto como el primer término de la SEC es tal que $fX'=X'$.

Para ampliar: considerar la secuencia exacta (utilizando ese $f$ es regular).

$$\tag{1} 0\to R\stackrel{f}\to R\to R/Rf\to 0$$

lo que da una resolución de $R/Rf$, y un arbitrario de la secuencia exacta

$$\tag{2} 0\to X'\to X\to X''\to 0$$

Los ARCHIVOS para este y $\hom_R(R/Rf,?)$ tiene la siguiente forma

$$0\to \hom_R(R/Rf,X') \to \hom_R(R/Rf,X)\to \hom_R(R/Rf,X'')\to \operatorname{Ext}^1_R(R/Rf,X')\to \cdots$$

Ahora, a partir de la primera resolución se obtiene que para cualquier módulo $M$, $\operatorname{Ext}_R(R/Rf,M)$ es la homología de

$$0\to M\stackrel{f} \to M\to 0$$

yo.e $\hom_R(R/Rf,M) = \{m\in M : fm=0\}$ $\operatorname{Ext}^1_R(R/Rf,M) = M/fM$ y todos los demás Ext son cero. Por lo tanto se puede obtener los siguientes reclamos:

Deje $f$ ser regular y considerar la posibilidad de una secuencia exacta $S$$(2)$. A continuación, $\hom_R(R/Rf,S)$ es exacta si y sólo si $fX'=X'$.

Answer 2

$\require{AMScd}$ Otra opción es la siguiente, que utiliza el lema de la serpiente, pero no hace mención de las extensiones. Como se observa en los comentarios, $\hom_R(R/Rf,M)$ es sólo el núcleo de la multiplicación por $f$ en $M$, $M_f$. En lo que consideran una secuencia exacta $(2)$ como en la otra respuesta, y la forma de un diagrama de

\begin{CD} {}&& 0 &&0 &&0\\ &&@VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>>X'_f @>>> X_f @>>> X''_f\\ {}&&@VVV @VVV @VVV \\ {}&&X' @>>> X @>>> X'' \\ {}&&@VfVV @VfVV @VfVV \\ {}&&X' @>>> X @>>> X'' \\ {}&&@VVV &&&&\\ {}&&0 \end{CD}

Desde $\hom_R$ exacto, la primera fila es exacta, y sólo se quiere mostrar que el mapa de $a$ es sobre. Ahora si $fX'=X'$ $0$ en la parte inferior está justificada. El lema de la serpiente da en la secuencia exacta de la primera fila exacto a la $0$ (el cokernel) y muestra de lo que usted lo que. De nuevo, es necesario y suficiente que $fX' =X'$.