Encontrar la órbita del elemento en el espacio de Banach

Question

Deje $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$ ser algunos de los espacios de Banach, entonces $$S=\left\{A:\mathcal{B}_1\to\mathcal{B}_2\big|\left\lVert A\right\rVert\leqslant1\right\}\subset\mathcal{L}\left(\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\right)$$ es un cerrado uniball en un operador lineal continuo espacio. Deje $x\in\mathcal{B}_1$ ser algún elemento fijo. Tengo una tarea para encontrar una órbita de tal punto, que se denota como: $$\text{Orb}\left(x\right)=Sx=\left\{Ax\big|A\in S\right\}$$

Creo que, tal órbita sería una bola cerrada de radio $\left\lVert x\right\rVert$$\mathcal{B}_2$, pero no sé cómo demostrarlo. La promueve tengo es que $\text{Orb}\left(x\right)\in\left\{y\in\mathcal{B}_2\big|\left\lVert y\right\rVert\leqslant\left\lVert x\right\rVert\right\}$. ¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

La órbita es de hecho el cerrado de la bola de $\overline{B}(0, \|x\|)$$\mathcal{B}_2$.

Si $x = 0$, entonces es claro. Suponga $x \ne 0$.

Deje $y \in \overline{B}(0, \|x\|)$ ser arbitraria. Vamos a construir un almacén lineal mapa de $A : \mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2$ $\|A\| \le 1$ tal que $Ax = y$.

Como @Ashwin Trisal lo sugiere, es un corolario de Hahn-Banach implica que existe una limitada lineal funcional $f : \mathcal{B}_1 \to \Bbb F$ tal que $\|f\| = 1$$f(x) = \|x\|$.

Definir $A : \mathcal{B}_1 \to \mathcal{B}_2$ $Av = \frac{f(v)}{\|x\|}y$ todos los $v \in \mathcal{B}_1$. Claramente $A$ es lineal y tenemos $Ax = y$. Además $$\|Av\| = \left\|\frac{f(v)}{\|x\|}y\right\| \le \frac{\|v\|\|y\|}{\|x\|}, \forall v \in \mathcal{B}_1 \implies \|A\| \le \frac{\|y\|}{\|x\|} \le 1$$

por lo $A \in S$. Por lo tanto,$y \in \operatorname{Orb}(x)$.

Desde $y$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de $\operatorname{Orb}(x) = \overline{B}(0, \|x\|)$.