Sí ,estoy de acuerdo de que son correctas; en esencia se diferencian por la ubicación de la $\forall x$ cuantificador, se podría decir.
La primera se puede hacer realmente topológico porque el $\delta$ varía por punto, y así que es sólo otra manera de decir "algunas barrio de $x$". Si denotamos por a $\mathcal{N}_X(x)$ el conjunto de todos los barrios de $x$, en un espacio de $X$, la continuidad puede ser formulado como
$$ \forall N \in \mathcal{N}_Y(f(x)) \exists N' \in \mathcal{N}_X(x): f[N'] \subseteq N$$ where the last inclusion could also have been written $N' \subseteq f^{-1}[N]$, para permanecer cerca de su formulación.
El segundo no es topológico, pero una noción que pertenece a los llamados uniforme de espacios, espacios con una estructura uniforme. Si elige la opción "séquitos"-ver para que $(X,d)$ tiene una métrica uniforme de la estructura de $\mathcal{E}_d$ generado por séquitos de la forma $\{(x,y): d(x,y) < \varepsilon\}$ etc. formulamos el uniforme de la continuidad como
$$\forall U \in \mathcal{E}_{(Y,d)}: (f \times f)^{-1}[U] \in \mathcal{E}_{(X,d)}$ $ , que se ve como normal continuidad entre espacios topológicos (inversa de la imagen de un "especial" subconjunto en el co-dominio es "especial" en el dominio).
La idea no es puramente topológico debido a que la "estrechez" $\delta$ no puede ser realmente declaró como una condición en bloques abiertos, pero las necesidades de la métrica aquí.
