Perturbación de mapa inyectivo.

Question

Me he atascado en un resultado que no soy capaz de probar. Lo extrapolaré a partir de su contexto:

Sea $\space$ $f$ sea un mapa lineal inyectivo entre $\mathbb{R}^n $ y $\mathbb{R}^m $ con $n \leq m$ y $g$ sea un isomorfismo lineal en $\mathbb{R}^n $ .

Sea $ || \space ||$ ser coherente $m \times n$ norma de la matriz. Entonces existe $\epsilon >0$ tal que para cada $A$ , $||A|| < \epsilon$ tenemos eso:

$f+Ag$ sigue siendo inyectiva.

¿Alguien puede ayudar?

Gracias :)

Answer 1

Porque $f$ es inyectiva, está acotada por debajo. En efecto, como $f:\mathbb R^n\to \text{Im}\,f$ es biyectiva, es invertible (estamos en dimensión finita, por lo que todo mapa lineal es continuo). O, como $f$ alcanza su máximo y mínimo en la bola unitaria, existen constantes $c,d$ con $c\|x\|\leq\|fx\|\leq d\|x\|$ para todos $x$ .

Ahora bien, si $\|A\|<c/\|g\|$ y $(f+Ag)x=0$ tenemos $$ 0=\|fx+Agx\|\geq \|fx\|-\|Agx\|\geq c\|x\|-\|A\|\,\|g\|\,\|x\| =(c-\|A\|\,\|g\|)\,\|x\|. $$ En $c-\|A\|\,\|g\|>0$ obtenemos $x=0$ y $f+Ag$ es inyectiva.

En el argumento anterior estoy utilizando para $A$ la norma del operador inducida por las normas en $\mathbb R^n$ y $\mathbb R^m$ . Pero como en un espacio de dimensión finita todas las normas son equivalentes, podemos sustituir la norma por cualquier otra, a costa de cambiar la $\epsilon$ un poco.