Probar que si $ \operatorname{Gal}(K/F) \simeq \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $K = F(\sqrt{a},\sqrt{b})$ algunos $a,b \in F$

Question

Deje $F$ ser un campo de carácter no $2$, y deje $K$ ser una extensión de Galois con $[K:F] = 4$. Probar que si $\operatorname{Gal}(K/F) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $K = F(\sqrt{a},\sqrt{b})$ algunos $a,b \in F$

Me mostró que

Si $F$ es un campo de carácter no $2$, e $K$ es una extensión de $F$$[K: F] = 2$, $K = F (\sqrt{a})$ $un \F$.

El uso de una idea como esta.

Pero no puedo utilizar la misma idea para probar este caso. Alguien me puede ayudar?

---

EDIT. Desde $\operatorname{Gal}(K/F)$ es el grupo de Klein, hay subgrupo $H$ orden $2$ y por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, no es un subcampo $L$ $K/F$ $L \leftrightarrow H$ tal que $[L:F] = [G:H] = 2$, $[K:F] = [K:L][L:F] = [K:F(\sqrt{b})][F(\sqrt{b}):F]$. Puedo aplicar este resultado a $[K:F(\sqrt{b})]$?

Answer 1

Este es Kummer teoría, pero podemos hacer esto de una manera más ingenua.

El grupo de Galois es $\left<\alpha,\beta\right>$ donde $\alpha$ e $ \beta$ have order $2$. The fixed field of $\alfa$ has degree $2$ over $F$, así es $F(\sqrt a)$ algunos $a$. Del mismo modo el campo fijo de $\beta$ $F(\sqrt b)$ algunos $b$. Si sigue ese $K$ debe $F(\sqrt a,\sqrt b)$.