Supongamos que consideramos la secuencia de funciones $f_{n}(x)=\sin(\sqrt{4 \pi^{2}n^{2} + x})$ y estoy teniendo problemas para demostrar que eso $f_{n}$ converge uniformemente en el intervalo $[0,1]$ .
Una idea que he probado es considerar la serie Taylor:
$$\sin(\sqrt{4 \pi^{2}n^{2} + x}) = (\sqrt{4 \pi^{2}n^{2} + x})- \frac{(\sqrt{4 \pi^{2}n^{2} + x})^{3}}{6} + O((\sqrt{4 \pi^{2}n^{2} + x})^{5})$$
pero aún no he conseguido nada útil.
Arreglar $x\in[0,1]$ . El teorema del valor medio muestra que $$|\sqrt{4\pi^2n^2+x}-2\pi n|<\frac x{4\pi n}\le\frac1{4\pi n}.$$ Así que $2\pi n \le \sqrt{4\pi^2n^2+x} < 2\pi n +1/(4\pi n)$ . A continuación, aplique de nuevo el MVT para mostrar $$|\sin(\sqrt{4\pi^2n^2+x})| =|\sin(\sqrt{4\pi^2n^2+x})-\sin(2\pi n)|<\frac1{4\pi n}.$$
Creo que su argumento también sirve para demostrar que $f_{n}$ no converge uniformemente en $[0,\infty)$ . Porque tenemos esa $|f_{n}(x)| = |f'_{n}(x_{0})| |x|$ para algunos $x_{0} \in [0, x)$ y podemos tomar $x$ para ser muy grande.
@user135520 Podría ser. Es obvio que la convergencia no es uniforme en $[0,\infty)$ para cada $n$ existe $x$ con $\sqrt{4\pi^2n^2+x}=(2n+1)\pi$ ..
Su secuencia converge uniformemente a $0$ .
\begin{align} \left|\sin\left(\sqrt{4\pi^2n^2+x}\right)\right| &= \left|\sin\left(\sqrt{4\pi^2n^2+x}\right)-\sin(2\pi n)\right| \\ &= \left|2\sin\left(\frac{\sqrt{4\pi^2n^2+x} - 2\pi n}2\right)\cos\left(\frac{\sqrt{4\pi^2n^2+x} + 2\pi n}2\right)\right|\\ &\le 2\left|\sin\left(\frac{\sqrt{4\pi^2n^2+x} - 2\pi n}2\right)\right|\\ &\le 2\left|\frac{\sqrt{4\pi^2n^2+x} - 2\pi n}2\right|\\ &= \sqrt{4\pi^2n^2+x} - 2\pi n\\ &= \frac{4\pi^2n^2+x - 4\pi^2n^2}{\sqrt{4\pi^2n^2+x} + 2\pi n}\\ &= \frac{x}{\sqrt{4\pi^2n^2+x} + 2\pi n}\\ &\le \frac{1}{4\pi n} \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{align}
uniformemente en $x \in [0,1]$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
¿Qué herramientas tienes para demostrar que una secuencia de funciones converge uniformemente en un intervalo? ¿Por qué crees que la serie de Taylor sería útil?
0 votos
Esperaba mostrar algo así como para cada $\epsilon>0$ podemos encontrar un número entero $N$ de manera que si $m,n \geq N$ y cualquier $x$ tenemos $|f_{n}(x)-f_{m}(x)| \leq \epsilon$ . Creo que es un problema que sólo requiere un análisis elemental, pero si hay una forma mejor de hacerlo utilizando otras técnicas, me encantaría verla.