¿Existen expresiones similares para los valores zeta de impar que no sean $3$ ?

Question

Desde Hjortnaes (y más tarde Apéry), sabemos que

$$ \zeta (3)= \frac {5}{2} \sum_ {k=1}^{ \infty }{ \frac { (-1)^{k-1}} {k^{3} \binom {2k}{k}}}. $$

Leí en alguna parte que podría haber una expresión similar para $ \zeta (5)$ :

$$ \zeta (5)= \frac {a}{b} \sum_ {k=1}^{ \infty }{ \frac { (-1)^{k-1}} {k^{5} \binom {2k}{k}}}, $$

donde $a$ y $b$ son números enteros positivos no cero. Sé que no hay tal $a$ y $b$ se han encontrado todavía, de lo contrario la prueba de Apéry de la irracionalidad de $ \zeta (3)$ podría extenderse a $ \zeta (5)$ . ¿Hay algún resultado que sugiera que existen sumas similares para $ \zeta (2n+1)$ , $n>1$ :

$$ \zeta (2n+1)= \frac {a}{b} \sum_ {k=1}^{ \infty }{ \frac { (-1)^{k-1}} {k^{2n+1} \binom {2k}{k}}}? $$

Por el contrario, ¿hay algún resultado que Descarta la existencia de tales sumas para ciertos números enteros positivos de impar?

Por último, ¿cuáles son los límites actuales conocidos en $a$ y $b$ si tales sumas puede ¿Existe?

Answer 1

Los primeros términos de la fracción continua de $$ \frac {1}{ \zeta (5)} \sum_ {k \geq 1} \frac {(-1)^{k+1}}{k^5 \binom {2k}{k}} $$ están dadas por $$[0; 2, 10, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 66, 4, 135, 3, 1, \ 6, 1, 29, \ldots ]$$ así que si el número anterior es $ \frac {a}{b} \in\mathbb {Q}$ Tenemos $ \min (a,b)>3 \cdot 10^{12}$ .
En otros términos, parece bastante improbable que la serie $ \sum_ {k \geq 1} \frac {(-1)^{k+1}}{k^5 \binom {2k}{k}}$ proporciona un múltiplo racional de $ \zeta (5)$ .
Los resultados clásicos $$ \sum_ {n \geq 1} \frac {1}{n^2 \binom {2n}{n}}= \frac {1}{3} \zeta (2), \quad \sum_ {n \geq 1} \frac {(-1)^{n+1}}{n^3 \binom {2n}{n}}= \frac {2}{5} \zeta (3), \quad \sum_ {n \geq 1} \frac {1}{n^4 \binom {2n}{n}}= \frac {17}{36} \zeta (4)$$ (afirmando que en algunos casos la hipergeométrica $ \phantom {}_{p+1} F_p \left (1,1,1 \ldots ; \tfrac {3}{2},2,2, \ldots ; \pm\tfrac {1}{4} \right )$ tiene una bonita forma cerrada en términos de $ \zeta $ función) puede considerarse como una consecuencia de el telescopio creativo o como consecuencias de las relaciones de simetría para los poligaritmos (ver [1] ). Acerca de $ \frac {1}{k^5}$ el telescopio creativo produce términos espurios y las relaciones funcionales para $ \text {Li}_4$ y $ \text {Li}_5$ son bastante desordenados, por lo que hay obstrucciones sustanciales en la generalización de los enfoques clásicos para producir una simple prueba de irracionalidad para $ \zeta (5)$ .