Suma de 2 elevado a la potencia de cada elemento en una línea del triángulo de Pascal

Question

Sé que los elementos de una línea en el triángulo de Pascal agregar a a $2^n$ . ¿Qué acerca de:

$$\sum_{k=0}^n 2^{\binom{n}{k}}$$ For example, line $n = 2$ adds up to $8$. $n = 3$ adds up to $20$. ¿Hay alguna fórmula?

Answer 1

Si realiza un nuevo triángulo de pascal el triángulo mediante la sustitución de $\binom {n}{k} $$2^{ \binom {n}{k} }$, y la propiedad aditiva

$$\binom {n+1}{k}= \binom {n}{k} + \binom {n}{k-1} $$ translates to the multiplicative property $$ 2^{ \binom {n+1}{k}} = 2^{\binom {n}{k}}\times 2^{\binom {n}{k-1}}$$

El producto de los elementos de la $n_{th} $ fila sería $ 2^{2^n} $

No he podido encontrar una fórmula simple para la suma de las filas del nuevo triángulo.