Copa del mundo: ¿en qué fase de grupos de resultados (vector) es más probable?

Question

En la Copa del Mundo de 2018 en la fase de grupos, un grupo se compone de 4 equipos, y cada equipo juega cada otro equipo de una vez, para un total de 6 juegos. Un equipo obtiene 3 puntos por victoria, 1 punto por empate, 0 puntos por la pérdida. Después de los 6 juegos, los equipos se clasifican por el número total de puntos.

Deje $v$ ser ordenados 4-vector de puntos totales. E. g. $v=(9,6,3,0)$ representa a un grupo donde no hay empates, el equipo de alta beats de todos los demás, el 2º mejor equipo golpea a otros dos, y el 3er mejor equipo sólo late el peor equipo. Del mismo modo, $v=(3,3,3,3)$ representa un grupo donde todos 6 los juegos son dibujados.

(Nota: sólo un pequeño número de vectores diferentes son posibles. Esto se hizo en Copa del Mundo Clasificación , pero no tiene publicado la respuesta.)

Mi pregunta es: que $v$ es la más probable? Obviamente, esto depende del modelo de probabilidad. Para el propósito de esta pregunta, supongamos (poco realista) de que cada juego es yo.yo.d., ha probabilidad de $p$ de ser dibujado, y cada equipo gana con probabilidad igual a ${1-p \over 2}$.

Lo que busco: como una función de la $p$, $v$ es la más probable?

Comentarios adicionales:

• Obviamente, para cualquier valor dado de a $p$, la solución puede ser encontrar numéricamente (exactamente y/o de Monte Carlo con alta precisión). Sin embargo, yo estoy esperando una mayor respuesta intuitiva utilizando, por ejemplo, la simetría de los argumentos, la teoría de grafos, la entropía(?!) etc.

• Yo también estoy interesado en las transiciones como $p$ cambios de$0$$1$. (E. g. como $p$$0$$1$, $Prob(v=(3,3,3,3))$ también va de $0$$1$, pero ¿en qué momento $(3,3,3,3)$ convertido en el más probable?)

• Si no puede resolver el problema general, todavía puede ser interesante conocer la respuesta de "típico" de los valores de $d$. E. g. a partir de este escrito - los últimos partidos de los Grupos E Y F acaba de terminar - hay 9 saca de 44 juegos, por lo $p=9/44 \approx 0.2$.

• Por último, un enfoque posible que pensé un poco, pero no mucho progreso: el problema podría ser más fácil si, en lugar de la variación de $p$, podemos variar el número de sorteos $D \in [0,6]$. I. e. acondicionado en $D$ saca de 6 juegos, que $v$ es la más probable? Esto puede proporcionar un paso intermedio para responder a mi pregunta original (debido a $D$ se distribuye $Binomial(6,p)$).

[Off topic] Buena suerte a todos los equipos restantes... y puede que en el futuro todos los VAR de decisiones no controvertidos! :)

Answer 1

Primero hagamos una lista de los posibles vectores y sus probablities en términos de$p$$q=1-p$. Como el número de sorteos determina la suma de los puntos, sólo podemos obtener el mismo vector si tenemos el mismo número de empates.

\begin{array}{c|c|c} \text{#draws}&\text{vector}&\text{probability}\\\hline 6&[3,3,3,3]&p^6\\\hline 5&[5,3,3,2]&6p^5q\\\hline 4&[7,3,2,2]&3p^4q^2\\ 4&[5,5,3,1]&3p^4q^2\\ 4&[5,5,2,2]&3p^4q^2\\ 4&[5,4,3,2]&6p^4q^2\\\hline 3&[9,2,2,2]&\frac12p^3q^3\\ 3&[6,5,2,2]&\frac32p^3q^3\\ 3&[5,5,3,2]&\frac32p^3q^3\\ 3&[5,5,5,0]&\frac12p^3q^3\\ 3&[7,5,2,1]&3p^3q^3\\ 3&[7,4,2,2]&3p^3q^3\\ 3&[5,5,4,1]&3p^3q^3\\ 3&[7,4,3,1]&3p^3q^3\\ 3&[5,4,4,2]&3p^3q^3\\ 3&[4,4,4,3]&p^3q^3\\ \hline 2&[9, 4, 2, 1] & \frac32p^2q^4\\ 2&[7, 5, 4, 0] & \frac32p^2q^4\\ 2&[7, 4, 4, 1] & \frac94p^2q^4\\ 2&[7, 6, 2, 1] & \frac32p^2q^4\\ 2&[4, 4, 4, 4] & \frac38p^2q^4\\ 2&[5, 4, 4, 3] & \frac32p^2q^4\\ 2&[7, 7, 1, 1] & \frac38p^2q^4\\ 2&[7, 4, 3, 2] & \frac32p^2q^4\\ 2&[7, 5, 3, 1] & \frac32p^2q^4\\ 2&[6, 5, 4, 1] & \frac32p^2q^4\\ 2&[6, 4, 4, 2] & \frac32p^2q^4\\ \hline 1&[9, 4, 4, 0] & \frac38pq^5\\ 1&[7, 6, 4, 0] & \frac34pq^5\\ 1&[9, 4, 3, 1] & \frac34pq^5\\ 1&[9, 6, 1, 1] & \frac38pq^5\\ 1&[6, 6, 4, 1] & \frac34pq^5\\ 1&[6, 4, 4, 3] & \frac98pq^5\\ 1&[7, 6, 3, 1] & \frac34pq^5\\ 1&[7, 4, 3, 3] & \frac34pq^5\\ 1&[7, 7, 3, 0] & \frac38pq^5\\ \hline 0&[9,6,3,0]&\frac38q^6\\ 0&[9,3,3,3]&\frac18q^6\\ 0&[6,6,6,0]&\frac18q^6\\ 0&[6,6,3,3]&\frac38q^6 \end{array}

(He trabajado estos por la mano a $3$ dibuja, entonces, me faltaba uno con $3$ sorteos y no podía ser molestado a la figura hacia fuera y codificado hasta después de todo. :-)

Sólo los vectores con los más altos coeficientes de cada monomio puede ser la más probable, y es sencillo de trabajar en la que los valores de $p$ de los crossovers entre el monomials ocurrir. La probabilidad de $3p^3q^3$ para el caso de $3$ atrae es el único que nunca domina:

\begin{array}{c|c|c} \text{#draws}&\text{vector}&\text{probability}&\text{domain}\\\hline 6&[3,3,3,3]&p^6&p\in[\frac67,1]\\\hline 5&[5,3,3,2]&6p^5q&p\in[\frac12,\frac67]\\\hline 4&[5,4,3,2]&6p^4q^2&p\in[\frac{2\sqrt6-3}5,\frac12]\approx[0.38,\frac12]\\\hline 3&[7,5,2,1]&3p^3q^3\\ 3&[7,4,2,2]&3p^3q^3\\ 3&[5,5,4,1]&3p^3q^3\\ 3&[7,4,3,1]&3p^3q^3\\ 3&[5,4,4,2]&3p^3q^3\\ \hline 2&[7, 4, 4, 1] & \frac94p^2q^4&p\in[\frac13,\frac{2\sqrt6-3}5]\approx[\frac13,0.38]\\ \hline 1&[6, 4, 4, 3] & \frac98pq^5&p\in[\frac14,\frac13]\\ \hline 0&[9,6,3,0]&\frac38q^6&p\in[0,\frac14]\\ 0&[6,6,3,3]&\frac38q^6&p\in[0,\frac14] \end{array}

Yo no sé la forma de obtener este resultado, sólo se basa en la simetría argumentos :-)

Answer 2

Hay $3^6=729$ maneras de poner entre el $0$ $6$ flechas en los bordes de una etiqueta de $K_4$. Deje $q:={1-p\over2}$. Una asignación que contengan $r\in [0..6]$ flechas, a continuación, tiene la probabilidad de $q^rp^{6-r}$. Ahora tenemos que ir a través de la $729$ de los casos y recoger las probabilidades de las distintas posibilidades de la puntuación de los vectores. No creo que vale la pena establecer un Polya esquema de recuento con el fin de explotar la incidencia de simetrías. La resultante de las probabilidades de todos son polinomios de grado $\leq6$$p$, y algunas de la búsqueda serán necesarios para identificar el origen más probable de puntuación vector en términos de $p$.

Me fui a través de los casos, y resultó que no se $40$ posible puntuación de vectores, numeradas $1$ $40$en mi configuración. Yo deje de Mathematica calcular el polinomio resultante $s_j(p)$ para cada uno de ellos, y entonces se determina por los valores $p_k={k\over400}$ $(0\leq k\leq400)$ que puntuación vector tenía la más alta probabilidad. El resultado se muestra en la siguiente figura:

La inspección de esta figura permite determinar a posteriori de la $p$-valores donde los saltos tienen lugar. Son $${1\over4},\quad{1\over3},\quad{2\sqrt{6}-3\over5}=0.3798,\quad{1\over2},\quad{6\over7}\ ,$$ como en Joriki la respuesta. Tenga en cuenta que algunas de las probabilidades de $s_j(p)$ han respetable valores, como puede verse en la siguiente figura que muestra un gráfico de todas las $40$ funciones $p\mapsto s_j(p)$: